Fizikai Szemle honlap

Tartalomjegyzék

Fizikai Szemle 2004/12. 397.o.

A KLASSZIKUS GRAVITÁCIÓELMÉLETRŐL

Gábos Zoltán
Babes¸-Bolyai Tudományegyetem
Kolozsvár, Románia

A gravitációs kölcsönhatást (a gravitációt) ma a leggyengébb alapvető kölcsönhatásnak tekintjük. Számolni kell vele, valahányszor legalább az egyik kölcsönható partner tömege elég nagy. A testek súlyának okozója fontos szerepet játszik a Világegyetem nagyléptékű szerkezetének alakításában, a kozmikus családok - például a Naprendszer - összetartásában. Összehúzó, tömörítő hatása döntő szerepet játszott és játszik a csillagok világában. Így nem véletlen, hogy a gravitáció és a világmodellek története szorosan egybefonódott.

A fejlődés során a feladatukat teljesítő, de lehetőségeiket kimerítő modelleket új, a valóságot jobban tükröző modellek váltják fel. Ez nem akadálymentes folyamat. A megszokotthoz való ragaszkodás lassítja azoknak a merevítő elemeknek, akadályoknak az eltávolítását, amelyek a haladást gátolják. Ezt a tényt a gravitáció története is tanúsítja.

A következőkben a klasszikus gravitációelmélet történetének vázlatos bemutatására vállalkozunk. Történetünket a speciális relativitáselmélet megjelenésével, az 1905-ös évvel zárjuk.

A newtoni elméletig vezető út

Az antik világ természettudományos ismereteinek összefoglalására elsőként a görög tudósok vállalkoztak. Világmodelljeik között megtaláljuk Ptolemaiosz geocentrikus, de ugyanúgy Arisztarkhosz heliocentrikus modelljét is.

A XVI. század közepéig a geocentrikus modellt használták. A Földhözkötöttség, a mindennapos tapasztalatok ennek a modellnek kedveztek. Élesen elkülönítették a tökéletesnek vélt égi, és a változó, tökéletlennek minősített földi világot. A gömbölyűnek és mozdulatlannak tekintett Földnek jutott a Világegyetem központjának a szerepe. A Föld körül egyenletesen forgó égi világ szféráiban kapott helyet a Nap, a Hold, öt bolygó (Merkúr, Vénusz, Mars, Jupiter, Szaturnusz) és az állócsillagok. Használták a tökéletes és természetes (külső beavatkozást nem igénylő) mozgás fogalmát. E szerep az egyenletes körmozgásnak jutott. A vándorló csillagnak tekintett öt bolygó rendellenesnek tekintett mozgását egymásba fonódó körmozgásokkal magyarázták.

A modell hívei sikerrel teljesítették azt a feladatot, hogy az égitestek látszólagos mozgásával kapcsolatban minél több információt nyerjenek. Ezek az adatok a továbbiak szempontjából hasznosnak bizonyultak. A gravitáció szempontjából a mértékszámmal jellemezhető súlyfogalom megjelenése is döntő fontosságú volt. Archimédesz a fajsúly és súlypont fogalmakat is ismerte.

A bolygómozgás törvényeinek megállapítására a geocentrikus modell alkalmatlannak bizonyult. Az előrelépés terén az első lépést N. Kopernikusz tette meg 1543-ban. Modelljében a Nap a központi égitest, körülötte keringenek a bolygók, amelyek köre a Földdel gazdagodott. Az állócsillagok látszólagos mozgását a Föld forgásával magyarázta. A Föld egy kísérővel maradt, de később ez a kiváltsága is elesett, amikor G. Galilei 1610-ben Jupiter körül keringő holdakat fedezett fel. A körpálya kitüntetett szerepéhez ragaszkodó Kopernikusz nem tudta hasznosítani heliocentrikus modelljének előnyeit, de a Föld-Nap szerepcserével rést ütött az égi és földi világ közé emelt válaszfalon.

J. Kepler elsőként merte tagadni a körpálya kitüntetett szerepét. Nagymértékben hasznosította Tycho de Brahénak a látszólagos bolygópályákra vonatkozó megfigyelési adatait (ezek nagyrészt a Mars bolygóra vonatkoztak). Kepler a bonyolult körpályasokaságot egyetlen ellipszispályával cserélte fel. A Napot az ellipszis gyújtópontjába helyezte. Mindezt az 1609-ben közölt, nevét viselő első törvényben rögzítette. A tíz évvel később megfogalmazott harmadik törvény fontos szerepet játszott a gravitáció történetében. Eszerint a bolygó keringési idejének négyzete egyenesen arányos a pálya fél nagytengelyének köbével:

1-es képlet

ahol C az összes bolygókra azonos értékű.

Kepler törvényei több okból is ösztönözték a továbblépést. A törvények elméleti megalapozást igényeltek. Az (1) alatti kapcsolat arra utalt, hogy a bolygók pályáját a Nap alakítja, ezért a Nap hatásának vizsgálatát Kepler a megoldandó feladatok körébe sorolta. A maga idejében ő ezzel a feladattal nem tudott megbirkózni. Az előrelépést a "földi fizika" eredményei készítették elő.

Döntő fontosságú volt annak a felismerése, hogy a természetes mozgás megnevezés az egyenes vonalú egyenletes mozgást illeti. Ezt elsőként R. Descartes állította 1633-ban. Nyilvánvalóvá vált, hogy az ellipszispályán vagy akár a körpályán történő mozgás fenntartása külső hatást igényel.

A mozgások leírása szempontjából igen fontosnak bizonyultak Galilei eredményei. Értelmezte a pillanatnyi sebesség és gyorsulás fogalmát és kísérletekkel igazolta, hogy a szabadesés egyenletesen gyorsuló mozgás. Kimutatta, hogy a Föld középpontja felé tartó test g gyorsulása nem függ az eső test anyagi minőségétől és súlyától.

Az ingamozgást is vizsgáló Ch. Huygens 1673-ban arra a következtetésre jutott, hogy az egyenletes körmozgás esetében egy a középpont felé mutató centripetális gyorsulással kell számolni, amelynek nagyságát

2. képlet

adja, ahol R a kör sugarát és v a kerületi sebességet jelöli. (Ezt az összefüggést 1666-ban I. Newton is levezette, de Huygens a közlésben megelőzte.)

A "földi fizika" felsorolt eredményei lehetővé tették azt, hogy a Napnak bolygókra gyakorolt hatásáról többet tudjanak mondani. A bolygók mozgásának vizsgálata a figyelem középpontjába került. Egy 1666-tal kezdődő, 1687-ig tartó időszak következett, amelyet a klasszikus gravitációelmélet virágkorának tekinthetünk. E szakasz vezéregyénisége I. Newton volt, aki 1687-ben megjelent Philosophiae naturalis principia mathematica című művében összegezte saját és kortársai eredményeit. A következőkben az elvi jelentőségű eredményekből válogatunk.

I. Newton, E. Halley és C. Wren, egymástól függetlenül, az (1) és (2) alattiakat hasznosították. Körpálya közelítést használva, (1)-ben a helyett a körpálya sugarát, R-et írva, az egyenletes körmozgásra érvényes

3. képlet

összefüggést is figyelembe véve, az

4. képlet

kapcsolathoz jutottak. Így állíthatták, hogy a bolygókat a Nap vonzóhatása tartja meg pályájukon, és a hatás erőssége a Naptól mért távolság négyzetével fordítottan arányos. R. Hooke más úton jutott ugyanerre a következtetésre. Állította, hogy a Nap hatása radiális irányban terjed szét, és ezért a távolság négyzetével fordított arányban gyengül. I. Newton elsőként ismerte fel, hogy a szabadesés és a Hold Föld körüli mozgása esetében egyazon hatással kell számolni. Figyelembe vette, hogy a hatás erőssége a távolság négyzetével fordítottan arányos, és így kör alakú Holdpálya esetében (4) felhasználásával a

5. képlet

kapcsolathoz jutott, amelyben RF a Föld-, RH a Hold-pálya sugarát, gF a szabadesés gyorsulását jelzi a földfelszín közelében, TH a Hold keringési ideje. Amikor Newton az (5) alatti kapcsolatot megállapította, RF- fel és RH -val kapcsolatban nem álltak rendelkezésére pontos adatok. Miután ezek birtokába jutott, (5) helyességéről maga is meggyőződhetett.

A fentiekben a gravitációs hatás esetében jelentkező gyorsulást vettük tekintetbe. Miután kiderült, hogy a súly erő jellegű mennyiség, a gravitációs erő kérdése is napirendre került. A súly és a nehézségi gyorsulás egyirányú vektorok, így közöttük

6. képlet

alakú kapcsolatot lehetett létesíteni. Az m skaláris mennyiséget ma súlyos tömegnek nevezzük. E mennyiség a test gravitációs kapcsolatot létesítő képességét méri. A (6) kapcsolat egyben arra is utalt, hogy a gravitációs erő arányos a gravitációs hatásnak kitett tárgy tömegével.

Newton arra az esetre is gondolt, amikor a központi test nem pontszerű. Kimutatta, hogy az a gömb alakú test, amelynek tömegeloszlása gömbszimmetriát mutat, a vonzás szempontjából úgy viselkedik, mintha egész tömege a gömb középpontjában lenne összesűrítve.

Hooke és Newton állította, hogy mindenégitest vonzást fejt ki saját középpontja irányában, így gravitációs kapcsolatra (kölcsönhatásra) alkalmas. A Nap hat a bolygóra, de a bolygó is hat a Napra. Tehát a pontszerűnek tekinthető 1-es és 2-es jelzésű tárgyak esetében két erővel kell számolni, amelyek abszolút értéke egyenesen arányos a két test tömegének szorzatával, és fordítva arányos a köztük levő távolság négyzetével. Az 1-es tárgynak 2-esre gyakorolt gravitációs hatását az

7. képlet

erő segítségével írjuk le, amelyben K gravitációs állandót, m1 és m2 tömegeket, x1 és x2 helyzetvektorokat jelöl. A 2-es tárgynak az 1-esre gyakorolt hatását kifejező F21 erő F12-től előjelben különbözik. Az origóban rögzített M tömegű, pontszerű tárgynak a tőle r távolságban levő, m tömegű tárgyra gyakorolt gravitációs hatását az

8. képlet

erőképlet segítségével írjuk le.

A gravitáció kérdését szívén viselő Hooke 1680-ban Newtont továbblépésre ösztönözte. A megoldásra váró feladatok körébe sorolta annak a bizonyítását, hogy a (8) alatti erőképletet felhasználva ellipszis alakú bolygópályához jutunk. Newton, a differenciálszámítás egyik úttörője, ezt a feladatot is sikerrel oldotta meg.

Newton a pontszerű testek esetében elsőként létesített kapcsolatot a testre ható erő és a test gyorsulása között:

9. képlet

A bal oldalon szereplő m mennyiséget ma tehetetlen tömegnek nevezzük, és állítjuk, hogy e mennyiség azt az ellenállást méri, amelyet a test sebessége megváltoztatásakor tanúsít. Newton hallgatólagosan feltételezte, hogy a súlyos és tehetetlentömeg értéke egyezik. Ezt elfogadva (8) és (9) alapján

10. képlet

írható. E mozgásegyenlet alapján valóban ellipszis alakú bolygópályákhoz jutunk. Fontos tényként állapíthatjuk meg, hogy (10)-ben m nem szerepel. Tehát ha egy adott pillanatban a bolygót egy fémgolyóval cserélnénk fel, a golyó a bolygópályán folytatná útját.

A bolygók mozgásának vizsgálata vezetett a (7) alatti erőtörvényhez. A törvény érvényességét Newton a Világegyetem egészére is kiterjesztette. Ezért beszélünk egyetemes gravitációs törvényről. Newton után már nem lehetett égi és földi fizikáról beszélni.

A newtoni alap bővítése, új utak keresése

Egy elmélet létjogát a gyakorlat igazolja. A newtoni tömegvonzási elmélet sikerrel vizsgázott. H. Cavendish 1798-ban földi körülmények között is bizonyította (súlyos ólomgolyók felhasználásával) a gravitációs törvény érvényességét. Eötvös Loránd 1909-ben igazolta, hogy a súlyos és tehetetlentömeg egyenlősége 10-8 relatív mérési hiba határán belül fennáll. Számításba vettek olyan hatásokat, amelyeket korábban figyelmen kívül hagytak, például a bolygómozgás esetében a többi bolygó zavaró hatását. E törekvés legnagyobb eredménye az volt, hogy az Uránusz bolygó mozgásában mutatkozó rendellenességeket magyarázva, megtalálták a zavaró tényezőt, az 1846-ban felfedezett Neptunusz bolygót.

A fizika eszköztára folyamatosan bővül. A newtoni mechanika és gravitációelmélet a gazdagításhoz szilárd, megbízható alapot nyújtott. A tényeket magyarázó, a tényanyag rendszerezését szolgáló elmélet hasznosítása során egyre jobban kirajzolódik az elmélet alkalmazhatósági területe. A nagy sebességgel végbemenő mozgások vizsgálata új elméletet igényelt. A newtoni gravitációs törvénnyel kapcsolatban is problémák jelentkeztek. Ezek közül csak kettőt emelünk ki. A bolygópályák rozetta alakúak (az ellipszispálya elforog). A pálya Naphoz legközelebbi pontja (perihéliuma) igen lassan körbevándorol. A perihélium-elmozdulás egy része a többi bolygó hatásával magyarázható, egy másik része azonban newtoni magyarázat nélkül maradt. Ezt elsőként Le Verrier jelezte 1859-ben, a Merkúr bolygó esetében. Eredményét 1898-ban S. Newcomb megerősítette, és a magyarázatra váró változásra a ma is használt 43 ívmásodperc/ évszázad értéket adta. Newton gravitációs törvényének érvényességét a Világegyetem egészére is kiterjesztette. De ekkor a térben végtelen Világegyetem esetében egyes fizikai mennyiségek végtelenekké válnak. A végtelentől irtózó fizikus és csillagász ezt nem fogadhatta el. Nyilvánvalóvá vált, hogy a gravitáció newtoni magyarázat nélkül maradt kérdései a newtoni keret túllépését igénylik.

A következőkben azokból a próbálkozásokból válogatunk, amelyek a gravitációelmélet terén való előrehaladást célozták. J.L. Lagrange 1788-ban közzétett Mécanique analytique című munkájában összegezte a ma nevét viselő új mechanikájának eredményeit. A gravitáció elméletét 1773-ban a gravitációs potenciálfüggvénnyel gazdagította. A gravitációs hatásnak kitett m tömegű testre ható erőt a potenciálfüggvényt tartalmazó

11. képlet

kapcsolat adja.

S. Poisson 1813-ban -re a

12. képlet

differenciálegyenletet adta, amelyben tömegsűrűséget jelöl. Amennyiben az origóban rögzített M tömegű, pontszerű tárgy hatásával kell számolnunk, (12) jobb oldalán helyett az kifejezést írjuk, amelyben a Dirac-féle disztribúció szerepel. Ameddig ezt a matematikai objektumot nem ismerték, (12) jobb oldalára zérót írtak azzal a megjegyzéssel, hogy az így nyert Laplace egyenlet az origón kívüli tartományban használható.

A (8) alatti erő a

13. képlet

potenciálból származtatható, amelyik az origón kívül teljesíti a

14. képlet

egyenletet.

Az előbbiekben a gravitációelmélet eszköztárát a függvénnyel bővítettük, de nem léptünk ki a newtoni keretből. Ezt C. Neumann tette meg azzal, hogy 1873-ban (14) bal oldalát a taggal egészítette ki ( állandó). Ily módon a

15. képlet

potenciálhoz jutott.

A Poisson-egyenlet és a Neumann-féle "világállandó" fontos szerephez jutott a gravitáció későbbi történetében. A (15) alatti potenciál kiküszöbölte a "gravitációs paradoxon"-t (a Világegyetem egészére véges értékeket szolgáltatott), de alkalmatlannak bizonyult arra, hogy a Naprendszer valamennyi bolygójára helyes perihélium elmozdulás- értéket nyújtson.

Ch.A. Coulomb 1785-ben kimutatta, hogy az elektromos töltéssel rendelkező, pontszerű tárgyak esetében egy olyan erőtörvény használható, amelyik a newtoni gravitációs törvényre emlékeztet. W. Weber 1846-ban arra a következtetésre jutott, hogy a mozgó töltések kölcsönhatásának leírásakor a töltést hordozó tárgyak sebességét is figyelembe kell venni. Arra is felhívta a figyelmet, hogy eredményeit a gravitáció elméletében is hasznosítani lehetne.

Tekintsük a Nap-bolygó rendszert. A Weber-féle program hívei ebben az esetben Lagrange-keretbe illő (a bolygó helyét és sebességét rögzítő adatoktól függő) potenciálokkal próbálkoztak. A javasolt függvények közül a Gerber-féle, 1898-ban közölt

16. képlet

potenciál vált közismertté. E potenciál a perihélium- elmozdulásra a ma is használt, helyes

17. képlet

kifejezést adta, amelyben a a fél nagytengely hosszát, c a fény vákuumbeli terjedési sebességét, a bolygópálya numerikus excentricitását jelöli. A (17) által adott szög egy keringésre vonatkozik. P. Gerber potenciáljára nem tudott elfogadható indoklást adni, úgy tűnik, hogy potenciálját a Newcomb által röviddel korábban (egyazon évben) nyert, a fentiekben már említett adathoz igazította.

Az elektromágneses kölcsönhatás eredményeinek a gravitáció elméletébe történő átültetése zsákutcának bizonyult. Ennek ellenére ez az eljárás legalább két szempontból hasznot hozott. A (17) alatti képlet a gravitáció elméletében ugyanazt a szerepet töltötte be, mint a Balmer- képlet a kvantumelméletben. Másrészt, a potenciálfüggvényekben szerepeltetett c sebesség azt sugallta, hogy a gravitációs hatás véges sebességgel terjed.

A helyes útra léptek azok, akik a harmadik utat választották. Ezen az úton az első lépéseket a két Bolyai és N.I. Lobacsevszkij tették meg. A newtoni elmélet az euklideszi geometriára alapoz. Miután Bolyai János és Lobacsevszkij az euklideszi geometria egyeduralmát megtörték, egy új, nemeuklideszi alapot kínáltak.

Bolyai Farkas 1832-ben kiadott Tentamen című munkája első kötetében egy zseniális sejtést fogalmazott meg. Elsőként állította, hogy a bolygók mozgásában jelentkezhetnek olyan zavarok, amelyeket csak nemeuklideszi alapon lehet magyarázni. A sejtést a fejlődés 27 év múltán a tények körébe sorolta.

Bolyai János továbblépett. Egy 1835-ös keltezésű kéziratában a nemeuklideszi alapra helyezett mechanika kidolgozását szorgalmazta. Első lépésként egy új, nemnewtoni gravitációs törvényt adott. Az M tömegű test által, tőle r távolságban lévő, m tömegű testre gyakorolt centrális erő radiális komponensére a newtoni elmélet az

18. képlet

képletet adta. A (18) jobb oldalán szereplő törtet -vel bővítve a nevezőben, a gömbfelszínre érvényes euklideszi kifejezés jelentkezik. A Bolyai-Lobacsevszkij-geometria a gömbfelszínre a

19. képlet

kifejezést adta. Bolyai erre alapozott, amikor (18)-at az

20. képlet

erőképlettel helyettesítette. Bolyai világában k-nak a természetes hosszegység szerepet szánta, és a valóságnak megfelelő k érték megadását a megoldandó feladatok körébe sorolta.

Bolyai János erőtörvényével fél évszázaddal előzte meg korát. P. Stäckel, aki még láthatta a törvényt tartalmazó kéziratot, az 1903-ban közölt A többméretű sokaságok mechanikájáról című dolgozatában a következőket írta: "Érdekes, hogy egy bolygó mozgását a központi test körül Killing (1885-ben) ugyancsak a Bolyai Jánostól föltételezett vonzási törvény mellett discutálta." Később Stäckel 1914-ben kiadott Bolyai Farkas és Bolyai János geometriai vizsgálatai című könyvében azt is jelezte, hogy Lobacsevszkij Bolyaival csaknem egy időben szintén megállapította a (20) alatti törvényt, amelyet a Kazáni Egyetem Tudományos Közleményeiben közölt. Ezért (20)-at joggal nevezhetjük Bolyai-Lobacsevszkij-féle gravitációs törvények.

Nem véletlen, hogy Bolyai és Lobacsevszkij elképzelései az ő idejükben nem tudtak gyökeret verni. Geometriájukat csak 1860 után ismerték el, így gravitációs törvényük sem számíthatott elismerésre.

B. Riemann 1854-ben tartotta meg a göttingeni egyetemen A geometria alapjait képezo feltevések című habilitációs előadását. (Dolgozata csak halála után, 1867-ben látott napvilágot.) Ezzel a nemeuklideszi geometria történetében új korszak kezdődött. Bolyai-Lobacsevszkij-geometria elszigeteltsége megszűnt, az új nemeuklideszi geometria eszköz- és fogalomtára folyamatosam gazdagodott. Fontos szerephez jutott a görbület fogalma. A Bolyai- Lobacsevszkij-féle világot az állandó, negatív görbületű (hiperbolikus) terek körébe sorolták.

A riemanni geometria fontos szerepet játszott az Einstein- féle modern gravitációelmélet megalapozásában. Az általunk szemügyre vett korszakban a fizikusok és csillagászok az állandó görbületű terek használatára szorítkoztak. A Nap-bolygó rendszer vizsgálata ismét napirendre került. A bolygómozgást állandó görbületű terekben R. Lipschitz (1873), A. Cayley (1873), W. Killing (1885) vizsgálták.

Térjünk vissza a (20) alatti törvényhez. Első pillanatban úgy tűnik, hogy az általánosítással nyert törvény minden elvi alapot nélkülöz. Ez nem így van. Az erő a

21. képlet

potenciálból származtatható.

Az gömbi koordináták segítségével megadott

Ívelem négyzet kifejezés felhasználásával a (14) egyenlet hiperbolikus megfelelőjéhez jutunk:

22. képlet

A Bolyai-Lobacsevszkij-féle potenciál teljesíti a (22) egyenletet. (20)-ból a esetben a newtoni kifejezéshez jutunk. Mivel ksinh (r/k) > r, (20) alapján

23. képlet

írható, tehát a hiperbolikus esetben a newtoni vonzást árnyékoló (gyengítő) hatással kell számolni.

Bolyai új világának szerkezetét a k értéke szabja meg, az a k érték, amelyik a gravitációs törvényben is szerepel. Lehet, hogy Bolyai János erre gondolt, amikor a gravitáció és a tér szerkezete közötti kapcsolatot állító sorait megfogalmazta:

"A nehézkedés törvénye is szoros összveköttetésben, foljtatásban tetszik [mutatkozik] az űr termetével, valójával [alkatával] miljségével s [gondolom] az egész természet [világ] foljásával."

Bolyai nem tudott a Gauss által 1828-ban bevezetett görbületfogalomról és arról, hogy új világának a görbületét a k értéke szabja meg. Ma már állítjuk, hogy Bolyai a háromdimenziós euklideszi teret meggörbítette a gravitáció segítségével, miáltal a newtoni gravitációs törvény helyébe egy új törvényt állított.

Bolyai nem lépett ki a klasszikus keretből, erre az ő idejében nem volt lehetőség. A továbblépést 1905, a speciális relativitáselmélet megalapozásai után lehetett megtenni. Az új elmélet egy pszeudo-euklideszi szerkezetű négydimenziós téridőt kínált, és ezzel a gravitációelmélet alkalmassá vált a riemanni geometria befogadására. A négydimenziós téridő meggörbítésére Einstein vállalkozott, és ezzel a gravitációt teljesen új megvilágításba helyezte. Például a Nap által meggörbített pszeudo-riemanni térből száműzte a gravitációs erőt és a téridőben a bolygók számára szabad utat biztosított.