Fizikai Szemle honlap

Tartalomjegyzék

Fizikai Szemle 2006/3. 73.o.

MILYEN LENNE A VILÁG, HA A PLANCK-ÁLLANDÓ ZÉRUS VOLNA, A FÉNYSEBESSÉG PEDIG VÉGTELEN?

Lovas István
professor emeritus, Debrecen

Ezt a furcsának tűnő kérdést az indokolja, hogy Albert Einstein száz évvel ezelőtt publikált két olyan munkát, amelyek a fizikában a Planck-állandónak és a fénysebességnek különleges szerepet adtak. Többek között ez volt az oka annak, hogy a századik évfordulót a Fizika Nemzetközi Éveként ünnepeltük 2005-ben.

Mi történne, ha ezt a két állandót elkezdenénk folytonosan "hangolni"? Rövid töprengés után arra az eredményre jutunk, hogy nem történne semmi drámai. Amit kapnánk, az egy "elhangolt" világ leírását adná, amely csak kvantitatíven különbözne a mi világunktól, kvalitatíven alig. Sok olyan írás jelent meg az elmúlt száz év alatt, amelyek ilyen elhangolás segítségével próbálták emberileg közelebb hozni a kvantumelmélet és a speciális relativitáselmélet szokatlan következményeit. Itt most azt a kérdést tesszük fel, hogy mi történne, ha ezt az elhangolást ad abszurdum vinnénk. Más szóval azt kérdezzük, hogy mi történne, ha az emberi skálán mérve kicsiny Planck-állandót zérussal és a nagyon nagy fénysebességet végtelennel helyettesítenénk. Matematikailag fogalmazva, azt akarjuk megvizsgálni, hogy az elmélet értelmes paraméterei kompakt teret alkotnak-e, azaz, hogy a paramétertérhez hozzátartoznak-e a határpontok.

A címben megfogalmazott kérdésre a válasz a fizikatankönyvekből kiolvasható.

Nézzük előbb az egyrészecskés kvantummechanikát! A legtöbb tankönyv tartalmazza annak bizonyítását, hogy a esetben visszakapjuk a klasszikus mechanika Newton-féle elméletét. Ez pedagógiailag rendkívül fontos eredmény! Azt bizonyítja ugyanis, hogy a Newton-mechanika "jó", nem kell elvetni! A kvantummechanika a klasszikus mechanikának csupán az érvényességi határát jelöli ki a mikrovilág irányában.

Nézzük ezután a relativisztikus mechanikát! A legtöbb tankönyv ugyancsak tartalmazza annak bizonyítását, hogy a esetben visszakapjuk a klasszikus mechanika Newton-féle elméletét. Ez pedagógiailag ugyanolyan fontos eredmény, mint az előző! Arra világít rá, hogy a Newton-féle mechanika "jó"! Korrekcióra csak akkor szorul, ha a mozgás sebessége megközelíti a fénysebességet.

Az itt idézett két, széles körben ismert, pedagógiailag nagyon fontos tényt sokszor úgy értelmezik, hogy ha a Planck-állandó helyébe zérust, a fénysebesség helyébe viszont végtelent helyettesítenénk, akkor visszakapnánk azt az emberszabású "klasszikus világot", amelyben mi, emberek otthon érezzük magunkat.

Ez azonban tévedés! Az alábbiakban ezt kívánjuk bebizonyítani.

Nézzük először a sokrészecskés kvantummechanikát. Közismert, hogy egy részecske x helykoordinátájához szükségképpen hozzátartozik egy helybizonytalanság, és hasonlóképpen a px impulzuskomponenshez egy impulzusbizonytalanság. A kvantummechanika egyik alaptörvénye kimondja, hogy a két bizonytalanságra érvényes a

Heisenberg-féle bizonytalansági reláció. Hasonló relációk érvényesek az y és a z komponensekre is.

Egy részecske állapota jól meghatározott (azaz jobban már nem tudjuk meghatározni), ha mindhárom relációban az egyenlőségjel érvényes. Szorozzuk össze a három egyenletet:

Innen leolvashatjuk, hogy egy szabad részecske állapota akkor van jól meghatározva a kvantummechanikában, ha a hatdimenziós fázistérben éppen egy térfogatú tartományban helyezkedik el. Ha a szóban forgó részecske 1/2 spinű fermion, akkor érvényes rá a Pauli-féle kizárási elv, amely kimondja, hogy egy jól definiált kvantumállapotban legfeljebb egy részecske foglalhat helyet. Az 1/2 spinű részecskének összesen 2 különböző spinállapota van. N darab fermion esetén tehát fennáll az

egyenlőtlenség, ahol a térbeli térfogatot V-vel, az impulzustérbeli térfogatot Vp-vel jelöltük. Ez az egyenlőtlenség azt fejezi ki, hogy a részecskék száma nem haladhatja meg a lehetséges kvantumállapotok számát. Tegyük fel, hogy a részecskerendszer (kinetikus) energiája korlátos. Ekkor az impulzustérfogata is korlátos. Ha növeljük a részecskék N számát, akkor szükségszerű, hogy növekedjen a rendszer V térfogata. Ezt minden kőműves tudja: "Ha több téglát építek be, akkor nagyobb falai lesznek a háznak."

Ez a gondolatmenet végigkövethető kötött sokrészecske- rendszerek (molekulák, atomok, atommagok stb.) esetén is, amelyeknél az egyes részecskék diszkrét kvantumállapotokat foglalnak el. Az eredmény természetesen ugyanaz.

Ezek után feltehetjük a kérdést: mi történik, ha helyébe zérust helyettesítünk? A választ az utolsó képletből olvashatjuk le. Tetszőlegesen kicsiny V térfogatban tetszőlegesen nagy N számú részecske "fér el". Ez azt jelenti, hogy a fermionok elveszítik az építőkő szerepet. Nem lehet belőlük sem molekulát, sem atomot, sem atommagot építeni, következésképen Déva várát sem. A részecskékből nem lehet térbeli struktúrát létrehozni.

Nézzük most az elektrodinamikát! Amint az közismert, a Maxwell által megfogalmazott "klasszikus" elektrodinamika azonos a relativisztikus elektrodinamikával. Elég tehát a Maxwell-egyenletekre hivatkozni. Ha c helyébe végtelent helyettesítünk, akkor az elektrodinamika egyenletei szétesnek az elektrosztatika és a magnetosztatika független egyenleteire. Ezeknek az egyenleteknek nincsenek időfüggő megoldásai. Ezek szerint az eseményeket, ha eseményekről egyáltalán lehetne beszélni, nem lehet idő szerint rendezni. Közérthetően fogalmazva: nincs történelem.

Összefoglalva megállapíthatjuk tehát, hogy, ha zérus lenne c pedig végtelen, akkor struktúra nem jöhetne létre sem térben, sem időben. Az ilyen világ tehát nem lenne az az emberszabású Világ, amelyben azért vagyunk, "hogy valahol otthon legyünk", ahogy azt Tamási Áron mondta.

Kelt Debrecenben, a Fizika Nemzetközi Évének végén.