KVANTUMKINEMATIKA

Györgyi Géza
KFKI

The kinematical structure of a physical system is expressed by an irreducible Abelian group of unitary ray rotations in system space.

H. Weyl, The Theory of groups and Quantum Mechanics (1928).

Weyl interprets the true meaning of group theory for physics to be the insight that quantum kinematics form a group. This deep, but Delphic remark was interpreted only recently by Schwinger.

L. C. Biedenharn, H, van Dam, Quantum, Theory of Angular Momentum (1965).

A klasszikus pontmechanikában a pillanatnyi állapot a koordináták és az impulzuskomponensek megadásával határozható meg; a koordináták és az impulzusok együttesen a fázistér egy pontja segítségével ábrázolhatók. Az állapot változását kinematikailag a fázistérben egy görbe szemlélteti.

A kvantumfizikában alapvető felismerés, hogy a mikrorészecskéknek nem tulajdonítható egyidejűleg meghatározott koordináta és impulzus. Minél élesebben meghatározott valamelyik koordináta értéke, annál elmosódottabb a megfelelő impulzuskomponens, és megfordítva (Heisenberg-féle határozatlansági összefüggés [1]). A fázistér, mely a koordináták és az impulzuskomponensek értékeit egyidejűleg szemlélteti, így főként a klasszikus határesetben hasznos, amikor a Heisenberg-relációkban visszatükröződő elmosódottság elhanyagolhatóvá válik.

Ha a részecske pillanatnyi állapota a kvantumfizikában nem ábrázolható a fázistér egy pontja segítségével, akkor milyen matematikai- fogalom az, ami a kvantumfizikában az állapotot reprezentálja? Útmutatást a kvantummechanika új törvényei közül az egyik legalapvetőbb és legdrasztikusabb: az állapotok szuperpozíciójának elve nyújt. Nem lehet a feladatunk itt, hogy a szuperpozíció-elv tapasztalatai támaszait, gazdag fizikai tartalmát részletesen áttekintsük (lásd [2], [3], [4], [5], továbbá [6]). Csupán felidézzük: a kvantummechanikában két állapotból újabb állapotok képezhetők, ahhoz hasonlóan, amint két vektorból, a-ból és b-ből számmal szorzás és összeadás útján újabb vektorokat kapunk. Azt mondjuk, hogy a kvantummechanikai állapotok, amint háromdimenziós terünk vektorai is, lineáris teret alkotnak. Lényeges különbség, hogy míg a valóságos tér vektorainak lineárkombinációi csak valós együtthatók mellett lesznek ezen tér vektorai, a kvantummechanikai állapotokból újabb állapotok komplex együtthatók segítségével képezhetők.

Legyen

ahol a₀, a₁, . . .a_N-1, komplex számok. Az a szimbólum ezen N komplex szám sorozatának tömör jele. Az a komplex szám-N-esek halmazára mint a komplex N-dimenziós térre hivatkozunk; a ezen tér egy vektora. A és a + b szimbólumok a , ill. a_k + b_k (k = 0, 1,. . ., N - 1) szám-N-est jelentik.

A kvantumelmélet alapvető kinematikai fogalmait a komplex N-dimenziós tér alapul vétele mellett szeretnénk megvilágítani. (Az elektronspin állapotai esetében pl. N értékét 2-nek fogjuk választani, vagy ha szükséges, elvégezzük az határátmenetet. ) A tárgyalás Weyl [7] és Schwinger [8] megközelítését követi.

Legyen

ezen vektorok segítségével tetszőleges a vektor felírható az

alakban. Az e_k vektorok neve: alapvektorok. Ezen N vektor sorozatára mint a tér alaprendszerére hivatkozunk.

Jelöljön V a komplex N-dimenziós térben egy vektor-vektor hozzárendelést; V szokásos, rövidebb neve operátor. Tegyük fel, hogy V az e_k alapvektornak e_k-1-et felelteti meg, képletben:

(megengedjük, hogy az e_l alapvektorok, s ugyanúgy a (3) képletben fellépő a_l együtthatók indexe tetszőleges egész értéket felvegyen; ha (mod N), e_k = e_l és a_k = al ). A V operátor tehát ciklikusan permutálja az alapvektorokat. Feltesszük még, hogy a hozzárendelés homogén lineáris: ha a, b tetszőleges vektorok, , pedig tetszőleges komplex számok, ezekre fennáll: . A V operátort n-szer egymás után alkalmazva kapjuk:

Ha n = N, akkor mindegyik alapvektor önmagába megy át; azaz

ahol az I operátor az identitás, mely a tér minden vektorát önmagába viszi át.

Keressük meg a V operátor sajátvektorait. Tegyük fel, hogy v egy ilyen sajátvektor, melyet V egy komplex számszorosába visz át:

a v komplex szám a sajátérték. A (6) összefüggésből következik, hogy v^N = 1. A V operátor sajátértékei az N-edik egységgyökök között keresendők. Egyszerűen belátható, hogy pl.

sajátvektora V-nek a v₀ = 1 sajátérték mellett. Általánosságban meg lehet győződni arról, hogy az N számú

vektor mindegyike sajátvektor, rendre a

sajátértékek mellett.

Vezessük be most az U operátort (ettől is megkívánjuk, hogy lineáris legyen), mely a (9) vektorokra az

képlet szerint hasson. Analógiában (5)-tel, fennáll:

Továbbá

[vö. (6)].

Az U operátor sajátértékeit (13) szerint ugyancsak az n-edik egységgyökök között kell keresnünk. A sajátvektorok a (9) vektorokból annak mintájára szerkeszthetők meg, ahogy a v_k-kat szerkesztettük meg az e_k alapvektorokból. Meggyőződhetünk arról, hogy az N számú

vektor mindegyike sajátvektora U-nak:

rendre az

sajátértékek mellett.

Helyettesítsük be a (14) képletbe v_k (9) kifejezését. Az

összefüggést tekintetbe véve kapjuk:

Visszanyertük a (2) alapvektorokat. Az U, V operátorok között eszerint szoros kölcsönös kapcsolat áll fenn: az U operátor V-nek a sajátvektorait, V viszont U-nak a sajátvektorait permutálja.

Alkalmazzuk U-t a (4), V-t pedig a (15) egyenletre; (4), (15), (16), (18) tekintetbe vételével kapjuk:

Mivel U és V lineáris, és az u_j = e_j vektorok segítségével bármely vektor felírható a, (3) alakban, ebből a

operátoregyenlet fennállására következtethetünk; (20) folyományaképpen feljegyezzük még a

egyenletet.

Válasszuk N értékét 2-nek. Az alapvektorok jele legyen most

V és U helyett -et és -at írunk:

Vezessük be még a jelölést; (6), (13), (20) folyományaképpen nyerjük a

képleteket. Az spin alapvető kinematikai összefüggéseit kaptuk meg.

*

Most feltesszük, hogy N páratlan szám. Alább át fogunk térni az limeszre. Vezessük be az

jelölést; ekvidisztans értékeken fut végig Ha N minden határon túl nő, ezen intervallum hossza -hez, a szomszédos , ill. értékek különbsége 0-hoz tart. Így F( ), G( ) az limeszben az egész valós tengely mentén értelmezett operátorfüggvények. A (21) egyenlet a (25) jelöléssel a

alakban írható fel. Az limeszben nyert F( ), G( ) operátorfüggvényeknek képezhetjük a deriváltját; iQ, ill. iP jelölje az ₌ = 0 helyen képezett deriváltakat (kiszámításukat lásd alább). A (26) egyenletből következik:

Az impulzus és a koordináta kvantummechanikai reprezentánsaira érvényes Heisenberg-Born-Jordan-féle felcserélési összefüggést kaptuk; (26) a felcserélési összefüggés Weyl-féle alakja.

Alkalmazzuk a (25) operátorokat a tetszőleges (3) vektorra. Célszerűnek bizonyul bevezetni a

jelölést; limeszben az egész valós tengely mentén értelmezett komplex értékű függvény. Az (5), (12), (14), (18) képletek felhasználásával kapjuk:

k-ra kell összegezni. Az F(), G() operátorok alkalmazásakor láthatóan így változik meg:

A Q, P operátorok hatását is könnyű meghatározni. Az , ill. szerint a nulla helyen képezett deriváltak 1/i-szeresét kell vennünk:

A koordináta és az impulzus operátorának Schrödinger-féle alakját kaptuk meg.

Az a_k együtthatók abszolút értékeinek négyzetösszege (a "norma" négyzete) esetén integrál alakját ölti:

(Ennek értékét - megfelelően a ) Schrödinger-féle hullámfüggvény valószínűségi értelmezésének - egynek választják.)

*

A speciális esetek felsorolását folytathatnánk. Még egy példát említünk: a körpályához kötött részecske (síkbeli rotátor) esetét.

Legyen N újra páratlan és

ekvidisztans értékeken fut végig . Ha N minden ezen intervallum hossza -hez, a szomszédos értékek különbsége 0-hoz tart. Az limeszben intervallumban értelmezett operátorfüggvény. Alkalmazzuk a (33) operátorokat a tetszőleges (3) vektorra. Bevezetjük a jelölést. Az limeszben a hullámfüggvény az egységkör kerületének minden pontjában értelmezve van. A I(m), operátorok így hatnak [vö. (30)]:

itt értendő. A operátornak képezhetjük a deriváltját az 0 helyen (jele legyen iL). A diszkrét argumentumú I(m) esetében azonban erről nem lehet szó. Most tehát nem vezethető be a fenti mintára a (27) felcserélési összefüggést teljesítő kanonikus operátor-pár. Ez nem meglepő: (27)-ből P és Q számára - -ig terjedő folytonos spektrum következik; L-nek mely a síkbeli rotátor impulzusmomentuma viszont diszkrét a spektruma: a 0, 1, 2, … egész számokból áll.

* *

Az alapvető kinematikai fogalmak kvantummechanikai megfelelőinek bevezetéséhez a komplex N-dimenziós téren alapuló tárgyalás láthatóan egységes keretet ad. Az limeszben megkaptuk az impulzus és a koordináta matematikai reprezentánsait, a Heisenberg-féle felcserélési törvényt teljesítő kanonikus operátorokat. De helye van e keretek között a kanonikus kvantálással meg nem ragadható eseteknek is, így az spin (klasszikus határesettel nem rendelkező) kinematikájának, a körpályához kötött részecske esetének stb.

A fentiekben a matematikai formalizmust állítottuk előtérbe. A formalizmus fizikai értelmezéséről hasonlóan egységes jellemzés adható.

Az U, V operátorok általában egy-egy fizikai mennyiséggel függnek össze. Az spin esetében ezek: a spin z-, ill. x-komponense. A P, Q kanonikus operátorok közül a koordináta operátorát U-ból, az impulzusoperátort V-ből nyertük. A körpályához kötött részecske azimutszöge U sajátértékének argumentuma, az impulzusmomentum L operátora pedig V-ből nyerhető.

Az U és a V sajátvektorai által képviselt kvantummechanikai állapotokban a megfelelő fizikai mennyiségek értéke élesen meghatározott érték. Ha azonban U sajátállapotában a V-hez (vagy V sajátállapotában az U-hoz) tartozó mennyiséget mérjük meg, az eredményt lehetetlen bizonyossággal előrelátni; csupán valószínűségi kijelentések tehetők. Annak valószínűségét, hogy az u_j állapotban elvégzett mérés a v_k-nak megfelelő eredményt adja, jelöljük p(v_k , u_j)-vel. A kvantummechanika axiomái szerint ezt a (14) alatti együtthatók abszolút értékeinek négyzete adja meg:

(e valószínűségek összege k = 0, 1, …, N - 1-re egyenlő eggyel); (9) értelmében ugyanez az értéke a p (u_j , v_k) valószínűségnek. Ebből következik, hogy

A (35) képlet szerint az u_j állapotban a V-hez tartozó mennyiség mindegyik értéke egyenlő valószínűséggel adódik; (36) pedig azt mondja, hogy az U-hoz tartozó mennyiség eredetileg éles értékét a V-hez tartozó mennyiség közbeiktatott - nemszelektív - mérése teljesen elmossa. Schwinger kifejezésével élve, U és V maximális mértékben inkompatibilisak. Fontos körülmény ezenkívül, hogy U és V felhasználásával megszerkeszthető egy N² számú operátorból álló teljes ortonormált operátor-bázis:

ezek lineárkombinációjaként tetszőleges operátor előállítható. A teljes operátor-bázis megszerkeszthetősége s a maximális inkompatibilitás együttes megjelölésére Schwinger a komplementaritás kifejezést ajánlja; U, V eszerint komplementer operátor-pár.

*

Az U, V pár által generált teljes operátor-bázis a kvantumelméleti kinematikában központi fogalom. Segítségével bármilyen állapotváltozást leírhatunk. Fontos tény, hogy adott fizikai rendszer (37) bázis-operátorai egy Abel-csoport irreducibilis sugárábrázolását képezik az állapottérben. '

A legegyszerűbb eset az spin. Az egység operátor és a Pauli-féle spinoperátorok lineárkombinációja alakjában tudvalevőleg tetszőleges, a spinfüggvényekre ható operátor előállítható. Az egyes operátorok alkalmazása a másik két operátor sajátvektorait az ellentett sajátértekhez tartozó sajátvektorokba viszi át. Szemléletesen szólva, rendre az x-, y-, z-tengelyre való tükrözést eredményez. Ez a három tükrözés és az azonos transzformáció () Abel-csoportot képez. Ez az ún. Klein-féle négyescsoport. Feleltessük meg e transzformációknak rendre a Pauli-operátorokat és az I identitás-operátort:

Ez a megfeleltetés egységnyi abszolút értékű tényező erejéig művelettartó: a négyescsoport sugárábrázolását nyertük.

Hasonlóképp belátható minden N-re: a (37) operátor-bázis egy-egy Abel-csoport sugárábrázolását képezi.

Vegyük végül külön szemügyre az esetet. Ekkor a (25) alatt bevezetett operátorok, mint (30) mutatja, a koordináta-eltolásokat ábrázolják; ugyanakkor az impulzust ábrázoló egyenes mentén végrehajtott eltolás (akceleráció, boost) reprezentánsa. A bázist képező operátorok így a fázissík , eltolásainak feleltethetők meg. A mondott eltolások kétparaméteres, folytonos Abel-csoportot alkotnak. A megfelelés - mint (26) is mutatja - egységnyi abszolút értékű tényező erejéig művelettartó. A bázist alkotó operátorok eszerint a fázissík eltoláscsoportjának sugárábrázolását képezik.

(A szintén az limeszben nyert síkbeli rotátorra hasonló megállapítás igaz. A csoport, melynek a bázis-operátorok sugárábrázolását képezik, vegyes folytonos-diszkrét Abel-csoport. Ezt az egységkör önmagában való elforgatásai, az L impulzusmomentum spektrumának egész számú eltolásai s ezek szorzatai alkotják.)

* *

Bevezetőben láttuk: a klasszikus pontmechanikában a kinematikai leírás a fázistérben megadott görbe segítségével történhet; a klasszikus kinematikában eszerint központi fogalom a fázistérbeli eltolás.

A kvantumfizikában a Heisenberg-relációk folytán a részecskék állapota nem ábrázolható a fázistér egy pontjával. Mégis, a fázistér - ill. fenti példánkban a fázissík - eltolásainak fogalma megőrzi centrális szerepét. A egyenes mentén mozgó részecske állapotterének teljes operátor-bázisa a fázissík eltoláscsoportjának sugárábrázolását képezi. Hasonlóképpen alapvető kinematikai transzformáció-csoport sugárábrázolását létesíti többi példánkban is a teljes operátor-bázis. Lényeges, hogy e sugárábrázolások mindegyike irreducibilis. (Reducibilis ábrázolást megvalósító operátorok nem alkotnának teljes bázist.)

Igen lényeges végül, hogy a kinematikai tekintetben alapvető Abel-csoportok fellépő ábrázolásai nem "igazi" (vagy vektor-) ábrázolások, hanem minden esetben sugárábrázolások. Egy Abel-csoport igazi ábrázolását képező operátorok maguk is kommutálnak. (Természetesen csak olyan operátorok jönnek tekintetbe, amelyek megőrzik az állapotot reprezentáló vektor normáját, tekintve ennek valószínűségi értelmezését.) E kommutáló operátorok egyidejűleg átlós alakra hozhatók; közös sajátvektor-rendszerüket bevezethetjük alaprendszerként. Most tehát nem kapunk irreducibilis ábrázolást. Az ábrázolás teljesen reducibilis; az állapottér egydimenziós invariáns alterekre esik szét.

A kinematikai szituáció eszerint gyökeresen eltér a kvantummechanikában megszokottól. Egy-egy ilyen invariáns alteret az alapvető kinematikai transzformációk mindegyike önmagába transzformál. Egyébként egy-egy ilyen egydimenziós altérre a - szokott módon értelmezett - koordináta és impulzus egyidejűleg meghatározott értékei jellemzők. Veszendőbe megy tehát a Heisenberg-reláció alapvető fizikai tartalma, az inkompatibilitás; az irreducibilitással együtt a teljes operátorbázis is elvész. A sugárábrázolásokat kirekesztve s az "igazi" ábrázolásokra korlátozódva, egyszersmind kiűzzük a komplementaritás gazdag és fontos fizikai tartalmú fogalmát.

A tömör mottó, melyet H. Weyl könyvéből [7] vettünk, mély igazságot mond ki. A kvantummechanikai állapottérben a rendszer kinematikáját kifejező Abel-csoport irreducibilis unitér (normaőrző) sugárábrázolása realizálódik. Ez az absztraktnak tetsző matematikai fogalom fontos fizikai tartalmat takar. Ez a kvantumelméleti kinematika központi fogalma, mely számbaveszi a szuperpozíció-elvet; belőle kiindulva képezhetjük a fizikai mennyiségek matematikai reprezentánsait, melyek a Heisenberg-relációkban kifejeződő inkompatibilitást visszatükrözik. A sugárábrázolást létesítő operátorok teljes bázist képeznek, mely lehetővé teszi tetszőleges állapotváltozás kinematikai leírását, s amely egyben az általános kvantumdinamikai törvények megfogalmazásának is nélkülözhetetlen eszköze.

A kvantumfizikában oly alapvető linearitás, az alapmennyiségek között érvényesülő komplementaritás adekvát matematikai kifejezőre a sugárábrázolás fogalmában talál.

[1] Kvantummechanika. Cikkgyűjtemény. Szerkesztette Jánossy Lajos. Akadémiai Kiadó, 1971. 211. o.
[2] Dirac, P. A. M., The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press 1958. I. fejezet.
[3] Feynman, R. P., Mai fizika, Műszaki Kiadó, 1970. 8. kötet 94. és 99. fejezet.
[4] Wigner, E. P., Symmetries and Reflections, Indiana University Press, 1967.; Szimmetriák és reflexiók, Gondolat, (megjelenőben) 12. tanulmány.
[5] Marx György, Kvantummechanika, Műszaki Kiadó, 1964. 121. és 309. o.
[6] Györgyi Géza, Fiz. Szemle 17, 24 (1967); lásd különösen a két utolsó bekezdést, 30. és 31. o.
[7] Weyl, H. Z. Plysik 46, 1 (1928) és Magy. Fiz. Foly. 18, 357 (1970); Theory of Groups and Quantum Mechanics, E. P. Dutton Co., 1932. IV. fejezet, D. pont.
[8] Schwinger, J., Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. 46, 570 (1960).

_______________________________