Fizikai Szemle honlap

Tartalomjegyzék

Fizikai Szemle 1960/11. 337.o.

Fényhullámok dinamikájáról

Györgyi Géza

Newton, a fény általa felállított részecske­elméletében, - amint az jól ismeretes - a követ­kező gondolatmenet alapján kísérelte meg a fény­törés jelenségének értelmezését. Tegyük fel, hogy egy törőközeg sík határfelületét a beeső "fény­részecskék" párhuzamos nyalábja éri. Jelöljük egy fényrészecske impulzusát a vákuumban P0-lal, a közegbe való behatolás után pedig P-vel. Newton feltette, hogy a fényrészecskékre a törő­közeg felületén az n belső normálissal párhuzamos erő hat. Ez az erő a fényrészecske impulzusának n-nel párhuzamos összetevőjét változtatja meg; az n-re merőleges összetevőt változatlanul hagyja:

(1)

Itt a az n és P0, pedig az n és P vektorok közbe­zárt szögét jelöli. Newton feltételezte, hogy a P0 és P impulzusok, valamint a megfelelő sebességek között a részecskék mechanikájából ismert alakú összefüggések állnak fenn:

(2)

ahol c és v a vákuumbeli, ill. a közegbeli fény­sebességet jelöli, m pedig a fényrészecske tömegét­. Az (1-2) egyerletekből m, valamintP / P0 kiküszö­bölése útján a Snellius-Descartes-féle törési tör­vényt kapjuk:

(3)

ahol

(4)

A közegbeli v fénysebesség közvetlen meghatáro­zására végzett mérésekből azonban kiderült, hogy a (4) egyenlet nem helyes. A szereplő mennyiségek között ehelyett a következő összefüggés áll fenn:

(5)

A fény hullámelméletének általános sikere után a fenti okoskodást, melyben fényrészecskékre tör­ténik hivatkozás, - úgy vélhetnénk - teljes egészében el kell vetnünk. A következőkben azon­ban látni fogjuk, hogy a fényhullámok (hullám­csomagok) dinamikai viselkedését figyelemmel kí­sérve, a fenti okoskodáshoz bizonyos fokig hasonló módon, a fénytörés törvényére dinamikai magya­rázatot adhatunk.

Most következő megfontolásaink azért is érdeklő­désre tarthatnak számot, minthogy összefüggenek azzal a több mint fél évszázados vitával, mely akörül folyik, vajon Abraham vagy Minkowski energia-impulzus­tenzora tükrözi hívebben az elektromágneses tér dinami­kai viselkedését polározható közegben. A két energia­impulzus-tenzor különbözősége lényegében annak folyo­mánya, hogy Abraham, ill. Minkowski eltérő kifejezé­seket javasoltak az elektromágneses tér polározható közegben érvényes impulzussűrűségére.

Max Abraham azt a feltevést tette, hogy az elektromágneses tér G impulzussűrűsége a törő­közeg belsejében az E elektromos és a H mágneses térerősségnek ugyanolyan alakú kifejezése, mint vákuumban:

(6)

Hermann Minkowski ehelyett egy más kifejezést javasolt, mely az előbbitől az µ szorzóban külön­bözik:

(7)

Itt a dielektromos állandó, µ a mágneses permea­bilitás; feltételezzük, hogy a közeg homogén, izotróp és nemdiszpergáló.

Síkhullám esetén (6)-ból a következő kapcsolat adódik a G impulzussűrűség, az u = (E2 + H2) / 8 energiasűrűség, valamint a v terjedési sebesség között :

(6a)

Ha viszont (7)-et vesszük alapul, ehelyett a

(7a)

összefüggésre jutunk. (e a terjedési irányba mutató egységvektort jelöli.)

Vegyünk szemügyre most egy hullámcsomagot, mely kiterjedésén belül jó közelítésben síkhullámnak tekinthető. Írjuk fel e hullámcsomag P = G dV impulzusának és E = u dV energiájának kapcsolatát. (Itt . . . dV a hullámcsomag által elfoglalt térfogatra kiterjesztett integrálást jelöl.) (6a) alapján e kapcsolat a

(6b)

alakúnak adódik, ha viszont (7a)-t vesszük alapul,

(7b)

összefüggésre jutunk. Vákuumban természetesen mind Abraham, mind Minkowski feltevése alapján ugyanazt az eredményt kapjuk:

(8)

Eredményeink birtokában azt gondolhatnánk, hogy a fénytörés jelenségével kapcsolatban a következőképpen érvelhetünk1,2. Az Abraham feltevése alapján kapott (6b), (8) egyenletek P és v, ill. c között (2)-vel analóg alakú kapcsolatot létesítenek; a fényrészecske m tömegének szerepét a hullámcsomag E energiájához tartozó E / c2 tömeg veszi át - összhangban az energia tehetetlenségének Einstein-Planck-féle törvényével. A (2) egyenletek alapján azonban a helytelennek bizonyult (4) összefüggésre jutottunk. - Ugyanakkor a Minkowski feltevése alapján kapott (7b) egyenlet nem áll összhangban a Planck-Einstein-tétellel. Mindazonáltal, ha az (1) egyenletbe az impulzus Minkowski szerint érvényes (7b), (8) értékeit helyettesítjük, a Snellius-Descartes-törvény mellett megkapjuk a, v terjedési sebesség és az n törésmutató kapcsolatát helyesen kifejező (5) összefüggést.

Érvelésünk - úgy látszhat - azt az eredményt adta, hogy a térimpulzus sűrűségének csupán (7) alatti, Minkowski-féle definíciója van összhangban a fénytörésre és a fény törőközegbeli sebességére vonatkozó tapasztalati tényekkel.

Gondosabb vizsgálattal azonban meggyőződhetünk róla, hogy a bemutatott érvelés meg nem engedett lépést tartalmaz s így félrevezető. Körültekintőbben eljárva megmutathatjuk, hogy Abraham (6) feltevése alapján ugyancsak lehetséges a fénytörés kifogástalan elemi dinamikai értelmezése. Sőt, azt találjuk, hogy Minkowski felfogása igen ésszerű és fontos követelményekkel áll ellentétben., míg Abraham felfogását elfogadva az összhang ezen alapvető követelményekkel megőrizhető. Az egyik ilyen követelményt, melynek csak az impulzussűrűség (6) alatti Abraham-féle definíciója felel meg, már említettük: ez az energia tehetetlenségének Einstein-Planck-féle posztulátuma. Egy másik ésszerű követelmény: a tér által a polározható közegre kifejtett ponderomotoros erő kifejezésének tartalmaznia kell a közegben kialakuló polarizációs áramokra ható Lorentz-erőt. Amint a következőkben látni fogjuk, a ponderomotoros erősűrűségnek az Abraham-féle feltevés alapján kapott alakja számot ad erről a jelenségről, a Minkowski-féle erősűrűség viszont nem.

A ponderomotoros erő kifejezése függ attól, hogy milyen alakúnak feltételezzük a térimpulzus sűrűségének kifejezését. Ha Abraham javaslatát, vagyis az impulzussűrűség (6) alakját fogadjuk el, úgy egy eltűnő mágneses permeabilitású, nemdiszpergáló, izotróp törőközegben, melyben szabad töltések, valamint vezetési áramok nincsenek jelen, az egységnyi térfogatra ható ponderomotoros erőre a következő kifejezést kapjuk3:

(9)

Ha viszont a Minkowski javasolta (7) definíciót fogadjuk el helyesnek, (9) második tagja nem lép fel, s így a ponderomotoros erősűrűségre a

(10)

kifejezés adódik. A törőközegbe behatoló fényhullám impulzusát a közegre kifejtett ponderomotoros erő reakcióereje változtatja meg. A (10) alatti Minkowski-féle erőképlet megfelel Newton feltételezésének, mely szerint a "fényrészecskére" (melynek helyére most a hullámcsomag lépett) ható erő merőleges a közeg határfelületére. A (9) alatt felírt Abraham-féle erősűrűségben azonban az utolsó tag a fény terjedési irányával párhuzamos, s így Newton feltételezése ez esetben nem teljesül. Ha tehát Abraham felfogását vesszük alapul, az előzőkben alkalmazott gondolatmenetet módosítanunk kell, tekintetbe véve a közegnek átadott impulzus érintőleges összetevőjét. A behatoló fényhullám a határfelület n normálisára merőleges irányú impulzust csupán (9) második tagja révén ad át a közegnek (a (9) kifejezés első tagja - éppúgy, mint (10) - n-nel párhuzamos). Az előzőkben tett feltevéseink alapján a (9) erősűrűség második ta.gját közelítőleg a következő alakba írhatjuk:

(11)

E kifejezést a közeg térfogatára integrálva megkapjuk a közegre ható erőt:

(12)

Itt (t) az elektromágneses energiának az a része, mely a t pillanatig a közegbe behatolt. Az átadott impulzust (12) idő szerinti integrálja szolgáltatja:

(13)

Itt E a közegbe behatolt teljes hullámcsomag energiája.

Eredményünk alapján felírhatjuk a közegnek átadott Pk impulzus n-re merőleges összetevőjét:

A vákuumból beeső hullámcsomag azon részének n-re merőleges impulzuskomponense, mely a határfelületen visszaverődik, a visszaverődés során nyilvánvalóan nem változik meg. Ha tehát az impulzus n-re merőleges összetevőjére kívánjuk felírni a megmaradási törvényt, elegendő a hullámcsomagnak azt a részét tekintetbe vennünk, amely végül behatolt a törőközegbe. A hullámcsomag ezen részének járuléka az impulzus vákuumbeli értékéhez P0 = E / c. Minthogy okoskodásunkban Abraham felfogását vettük alapul, a közegbe behatolt hullámcsomag P impulzusára a (6b) képletet kell használnunk. Írjuk fel most az impulzus megmaradását kifejező egyenletet a összetevőre:

Ez, amint azt egyszerű átalakítással beláthatjuk nem más, mint a (3) törési törvény, és itt n v = c.

Most bemutatott megfontolásaink lehetőséget nyújtanak, hogy fényt derítsünk egy másik problémára, amely Jauchnak és Watsonnak a polározható közegek kvantumelektrodinamikájára vonatkozó munkájában merült fel.4 E szerzők a Cserenkov-sugárzással kapcsolatban a következőképpen érvelnek. Az impulzussűrűség (7) Minkowski-féle kifejezését alapul véve, a részletes megfontolások szerint az adódik, hogy egy törőközegben tovahaladó elektromágneses hullám energiája a közeghez képest c / n-nél nagyobb sebességgel mozgó vonatkoztatási rendszerben negatív értéket vesz fel. Ennek a körülménynek Jauch és Watson szerint lényeges szerepe van a Cserenkov-sugárzás értelmezésénél. Vegyünk szemügyre - e szerzőket követve - egy elektront, amely a közeg belsejében c / n-nél nagyobb sebességgel mozog (a közeghez képest). Az elektronnal együttmozgó megfigyelő szempontjából a Cserenkov-emisszió folyamata a következőképpen folyik le. Az emisszió előtt az elektron visszalökődik, s így mozgási energiája zérusról egy pozitív értékre növekszik. Úgy látszik, hogy az energiamegmaradás tétele csak úgy teljesülhet, ha a kibocsátott hullámcsomag energiája negatív. Ez a Minkowski-féle felfogás alapján így is van; ugyanakkor meg lehet mutatni, hogy az impulzussűrűség (6) alatti Abraham-féle kifejezését helyesnek elfogadva, az elektromágneses tér energiasűrűségére határozottan pozitív kifejezés adódik. Jauch és Watson ezen érvelése alapján úgy látszhat, hogy a Minkowski-féle felfogás az egyedül helyes, az Abraham-féle pedig helytelen s így elvetendő.

Ez az érvelés azonban a gondosabb vizsgálat fényében nem állja meg a helyét. Ezt a fénytörés esetében alkalmazotthoz hasonló gondolatmenettel mutathatjuk meg. Az Abraham-féle felfogást alapul véve az energia és impulzus megmaradási tételének alkalmazásánál a (9) kifejezés második tagját is - melyet Abraham-féle erőnek nevezhetünk - tekintetbe kell vennünk.

Írjuk fel az elektronnak a közeghez rögzített rendszerben érvényes e energiája és p impulzusa között fennálló relativisztikus összefüggést: e2 = c2 p2 + m2 c4. Innen a

(14)

összefüggés adódik az elektron energiájának és a mozgásirányba eső impulzuskomponens megváltozása között; itt v = c2 p / e az elektron sebessége. Az impulzusmegmaradás tétele szerint egyenlő a fényhullám által elvitt, (6b) alatt felírt P = E/cn impulzus, valamint a közegnek átadott, (13) alatt meghatározott [(n2 - 1) / nc] E impulzus negatív előjellel ellátott összegének cos -szorosával. Itt a kibocsátott fényhullám terjedési irányának az elektron (eredeti) mozgásirányával bezárt szöge. Írható tehát:

A (14) összefüggést, valamint az energia megmaradását kifejező = - E egyenletet felhasználva, innen a

eredményre jutunk. Ez éppen a Cserenkov-sugárzás kibocsátásának irányát megszabó, a megfigyelések által igazolt, jól ismert képlet. - Eredményünkből természetesen következik, hogy a megmaradási tételek az elektronnal együttmozgó rendszerben is teljesülnek. Könnyű számítással meggyőződhetünk róla, hogy itt a kibocsátott fény pozitív energiáját, valamint az elektron visszalökődéskor felvett mozgási energiáját a (rendszerünkben mozgó) közegnek a (12) Abraham-féle erővel szemben végzett munkája fedezi.5 A fentiekben megbeszélt két jelenség tárgyalása mutatja., hogy a törőközegben haladó fényhullámok viselkedése szempontjából fontos szerepe van a (12) Abraham-féle erőnek. A következő megfontolásunkban ezen erő fizikai jelentésének megvilágításával szeretnénk rámutatni: komoly érv szól amellett, hogy Abraham (9) alatti erőtörvényét fogadjuk el helyesnek, a (10) Minkowski-féle képlettel szemben. - A Lorentz-féle elektronelmélet fényében nem lehet kétségünk afelől, hogy a vezetési áram és a polarizációs áram között elvi szempontból nem tehető különbség. A helyes erőtörvénynek tehát tartalmaznia kell a polarizációs áramokra ható Lorentz-féle erősűrűséget:

(15)

[Itt az egységnyi térfogatban foglalt dipólmomentum.]

A (10) alatti Minkowski-féle erősűrűség nyilván nem foglalhatja magában a (15) kifejezést, hiszen (10)-ben sem a mágneses térerősség, sem pedig időszerinti derivált nem szerepel. A (9) Abraham-féle erőtörvényből ugyanekkor minden külön feltevés nélkül megkaphatjuk a kívánt (15) tagot. A d H / d t = - c rot E Maxwell-egyenletet és a

vektoranalitikai azonosságot felhasználva a (9) erősűrűségre a következő új alakot kapjuk:

Itt az első tag a polarizációs áramra ható Lorentz-erőt leíró, kívánt kifejezés; a második tag pedig az inhomogén erőtérben dipólusokra ható erősűrűség ismert alakja. A harmadik tag a közeg egész térfogatára integrálva zérus eredőt ad, s inkompresszibilis közeg esetén az általa végzett teljes munka is zérus. Ez a tag a közeg polarizált állapotának fenntartásával kapcsolatos és csupán az elektrostrikciós jelenségeknél jut neki lényeges szerep. 6

IRODALOM

  1. Békéssy A., Freud G., Marx Gy., Nagy K.: Elméleti Fizikai Feladatok. 305. 1. Tankönyvkiadó, Budapest, 1951.
  2. M. Strauss : Tagungsbericht des I. Intornationalen Kolloquiums der Hochschule für Elektrotechnik, Ilmenau.
  3. Novobátzky K., Neugebauer T. : Elektrodinamika. Tankönyvkiadó, Budapest, 1950.
  4. J. M. Jauch, K. M. Watson : Phys. Rev. 74, 950, 1485 (1948).
  5. Györgyi G. : Magyar Fizikai Folyóirat, 3, 369 (1955).
  6. Györgyi G. : Magyar Fizikai Folyóirat, 5, 187 (1957).
  7. G. Marx, G. Györgyi : Acta Phys. Hung. 3, 213 (1954).
  8. Györgyi G. : Magyar Fizikai Folyóirat, 2, 255 (1954).

________________________________________________

*Megjelent: American Journal of Physics, 28 (1960) 85.