A Kepler-problémáról

1. A Kepler-törvények és a Newton-féle gravitációs törvény. Induljunk ki Kepler törvényeiből:

1. A Naprendszerben az égitestek pályája kúpszelet, melynek egyik gyújtópontjában a Nap áll.
2. A vezérsugár egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol.
3. A bolygók keringési idejének négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint ellipszispályájuk nagytengelyének köbei.

Kitűnő példa az elméleti fizika deduktív módszerére és didaktikailag igen előnyösen gyümölcsöztethető élmény Kepler ezen törvényeit Newton mozgásegyenletéből és gravitációs törvényéből levezetni. [Nemrég Balázs Béla adott meg a tenzorkalkuluson alapuló elegáns tárgyalást; Fizikai Szemle 14 (1964) 158.] Mindazonáltal az is komoly didaktikai lehetőségeket rejt magában, ha ezt az utat fordítva járjuk végéig, választ keresve a kérdésre: Milyen következtetések adódnak Kepler törvényeiből az égitestek mozgását kormányzó egységes alaptörvényt illetően? A kúpszeletpálya egyenletét az

alakban írjuk fel; felírjuk továbbá a területi sebesség állandóságát kifejező

összefüggést (itt a const. az adott pályára jellemző állandó; L a pályán haladó égitest impulzusmomentuma, m a tömege); végül felhasználjuk a bolygók T keringési ideje és ellipszispályájuk a nagytengelye között fennálló

kapcsolatot. [Itt a const. természetesen a Naprendszer minden bolygójára ua. az érték. Megjegyezzük, hogy a Nap, ill. a kvantummechanikai tárgyalásban a mag mozgását nem vesszük figyelembe. Ha a Nap mozgását figyelembe vennénk, (III) jobb-, ill. (10) baloldala kismértékben függne a bolygó tömegétől.]

Képezzük most az adott égitest helyzetvektorának második időderiváltját. (Ha feltételezzük a dinamika alapegyenletének ismeretét, ez az eljárás az erő kifejezését adja kezünkbe. Egy másik lehetséges nézőpont: A gravitációs törvény mellett a dinamika alaptörvényét is ismeretlennek tekintjük, és mondjuk találgatással "ráhibázunk", hogy a helyzetvektor második időderiváltjára különösen egyszerű kifejezés érvényes.) A pálya síkjában felvéve egy Descartes koordinátarendszert, melynek x-tengelye a kupszelet-pálya gyújtópontjain halad át és kezdőpontja a Nap középpontjában foglal helyet, az égitest Descartes-koordinátáira írható:

A második időderivált:

A (II) Kepler-törvényből kapjuk:

Az (I) összefüggést szerint differenciálva

adódik. A (3-4) egyenleteket felhasználva a

eredményre jutunk. A (2)-ben szereplő dx/d, dy/d, deriváltakra (1), (4) felhasználásával kapjuk.:

A (3), (5), (6) és (7) összefüggések felhasználásával (2)-ből az

vagy a tömörebb vektor-írásmódot alkalmazva, a

eredményt nyerjük [itt irányába mutató egységvektor]. A (8) összefüggésben a területi sebesség L/m állandója s a kupszelet p paramétere még az egyes égitestekre jellemző értékek. Az területi sebesség valamely bolygó esetében felírható, mint a pályaellipszis területe per a keringési idő:

Ezt négyzetre emelve és felhasználva az a nagy- és a b kistengely, valamint a p paraméter között fennálló p = b²/a kapcsolatot, kapjuk:

A (III) Kepler-törvény azt állítja, hogy a jobboldal a Naprendszer minden bolygójára ua. az érték. Ezt G-vel jelölve (8) az

alakba írható. Összevetve ezt az második Newton-axiómával, az erőkifejezést kapjuk. A Nap által a bolygóra kifejtett erő arányos a bolygó m tömegével. - A bolygó által valamely más égitestre kifejtett erőnek ezen égitest m' tömegével kell arányosnak lennie: (itt G' az m' tömegtől független, a bolygóra jellemző állandó). Legyen ez az égitest a Nap: Ekkor Newton harmadik axiomája értelmében a Nap és a bolygó tömegétől egyaránt független állandó. A eredményt (11)-be helyettesítve a Nap által kifejtett gravitációs erő hatása alatt álló égitest mozgásegyenletét az

alakban nyerjük. A ható erő az égitest és a Nap tömegével egyenesen, távolságuk négyzetével pedig fordítva arányos.

2. Mozgásállandók. A Kepler-törvények alapján csaknem közvetlenül felírható néhány fontos mennyiség, melynek értéke állandó a mozgás folyamán. Ilyen mozgásállandó a területi sebesség vektora. A vezérsugár kicsiny idő alatt közelítőleg egy háromszöget seper végig. Ennek területvektora A két utóbbi kifejezésben helyett egyszerűen írtunk s a idő alatt bekövetkezett elmozdulásra bevezettük a jelölést. A területi sebesség vektorán a -vel osztott területvektor határértékét értjük, ha :

Minthogy az I. Kepler-törvény szerint a pálya síkgörbe, s a (13) vektor ezen pálya síkjára merőleges, megállapíthatjuk: a területi sebesség vektora állandó irányú vektor. A II. Kepler-törvény szerint (13) nagysága is állandó. A területi sebesség vektorában eszerint a Kepler-probléma egy (vektoriális) mozgásállandóját ismertük meg. Megszorozva (13)-at 2m-mel és bevezetve a impulzusvektort, az

impulzusmomentumot kapjuk. - Az impulzusmomentum (területi sebesség) vektora mellett további mozgásállandó létezésére következtethetünk, kiindulva az I. Kepler-törvényből, ill. az (I) pályaegyenletből. Vezessük be az excentricitás vektorát a következő definícióval. Legyen a Nap által elfoglalt gyújtópontból a perihéliummal ellentétes irányba mutató vektor és hossza a kupszelet-pálya excentricitásával legyen egyenlő.

Vegyük még tekintetbe az impulzusmomentum, valamint a kúpszelet-pályát jellemző p paraméter

kapcsolatát, melynek fennállásáról pl. (8) és (12) összehasonlítása útján győződhetünk meg. Az (I) pályaegyenletnek így az

alakot adhatjuk; itt

Behelyettesítve (16)-ba (14)-et, majd egyszerű vektoralgebrai átalakítást alkalmazva, az

képlet adódik. Kísértést érezhetünk, hogy innen arra következtessünk: az excentricitás-vektor az

vagy az

alakban kifejezhető az helyzetvektorral és a p impulzussal, ill. még az impulzusmomentummal. Természetesen (19), ill. (20) nem szükségszerű következménye (18)-nak (olyan osztás, mely a vektorok skaláris szorzásának inverze volna, nem értelmezhető egyértelműen), mindazonáltal (19)-(20) fennáll. Erről és közvetlen behelyettesítése útján győződünk meg. Fennáll:

A (6), (3), (15) képleteket felhasználva kapjuk:

a c állandót (17) adja meg. Írjuk:

ahonnan

[A (23) képletben a szokott módon rendre az x-, y-, z-tengelyek irányába mutató egységvektorokat jelentik. Az z-tengelyt az impulzusmomentum irányában vettük fel. A pálya síkjában fekvő vektorok zérussal egyenlő z-komponensét nem írtuk ki. Így tettünk az (1), (2), (8'), (21), (22), (24) képletekben.] Felhasználva (21)-et és (24)-et, a behelyettesítés a (20) jobboldalán álló vektor x-, y-komponenseire az , 0 értékeket adja. A (19-20) egyenlőséget ezzel igazoltuk. A (19-20) mozgásállandót nevezik Laplace-integrálnak, de a Lenz, Runge, Pauli nevekkel is összekapcsolják.

A mozgásállandók között fontos helyet foglal el az energia. Ennek kifejezése a Kepler-probléma esetében

(Az energiaintegrál ismert módon a (12) mozgásegyenlet mindkét oldalát -tal skalárisan szorozva és teljesen differenciálhányodossá átalakítva nyerhető; .) Az energia (25) kifejezése, ha abba behelyettesítjük (22)-t és (15), (17) figyelembe vétele mellett (I)-et, a következő alakot ölti:

Az E energia eszerint kifejezhető a két korábban tárgyalt mozgásállandóval, az impulzusmomentummal és az Laplace-intergállal. - Vezessük be most - Hulthén és Bargmann nyomán - az

vektort. Szimmetrikusabb kifejezést nyerünk, ha E-t helyett segítségével állítjuk elő. Az E 0 esetek között különbséget kell tennünk. Az Laplace-integrált (27)-ből kifejezve és (26)-ba behelyettesítve az energiára az

kifejezés nyerhető. Itt E < 0 esetén a felső, ha pedig E > 0 az alsó előjelet kell venni.

3. Szimmetriák. Ha egy bolygópályát (a Nap középpontján áthaladó tengely körül) elforgatunk, újabb lehetséges bolygópályát nyerünk. Ezen ugyancsak keringhetne egy bolygó a Nap körül, összhangban Newton dinamikájának alapegyenletével. (Ez a megállapítást egészen közvetlenül szemléltetik a mesterséges holdak. Felbocsátásukkor a pályasík, s ezen síkban a pályaellipszis orientációja - adott nagytengely és excentricitás és így adott energia mellett - elvileg tetszés szerint előírható.) A különféle orientációk ezen egyenértékűsége a dinamika törvényeinek egy alapvető szimmetriáját tükrözi vissza. A dinamika törvényei a pálya elforgatása után is változatlan alakban érvényesek, szempontjukból (s általában: a természettörvények szempontjából) valamennyi térirány ekvivalens, vagy más szavakkal: a tér izotrop. A mozgástörvények ilyen, a tér tulajdonságaival kapcsolatos szimmetriáinak neve: a geometriai szimmetria.

A mondott geometriai szimmetria: a térirányok ekvivalenciája (izotrópia) a mozgástörvények mellett az E energia kifejezésének is szimmetriája. Valóban, tekintsünk akár (25)-re, ahol E-t az helyzetvektor és a impulzus egy függvénye, az ún. Hamilton-függvény állítja elő, akár pedig (28)-ra, ahol E-t az vektorok kifejezéseként adtuk meg, azt látjuk, hogy mindenütt vektorok négyzete vagy abszolútértéke szerepel, ami elforgatással szemben invariáns. Az elforgatás azonban nem a legáltalánosabb, a Kepler-mozgásra alkalmazható transzformáció, mely változatlanul hagyja az energiát. Az elforgatásokkal szemben külön-külön invariáns, holott a (28) energiakifejezés invarianciájához ez nem szükséges. Elegendő, ha marad változatlan (E < 0 esetén a +, E > 0 esetén a - előjel veendő). Első pillantásra úgy vélhetnénk, hogy - pl. E < 0 esetén - a keresett transzformációk az vektorok L_l, L₂, L₃, A₁, A₂, A₃ komponenseinek mindazon transzformációi, amelyek mellett invariáns. (Ezek hatdimenziós ortogonális transzformációk lennének.) Van azonban , ill. invarianciája mellett egy további feltétel, melyet a keresett transzformációknak teljesíteniök kell. Az (excentricitás-vektorral arányos) vektor a pálya síkjában fekszik, az impulzusmomentum pedig merőleges arra, fennáll tehát: _<= 0. Ahhoz, hogy a transzformáció szolgáltatta is Kepler-mozgást jellemezzen, szükséges, hogy ez a két vektor is merőleges legyen: . Olyan transzformációkhoz, melyek ezt a feltételt is teljesítik, a következőképpen juthatunk:

Négy változó x_l, x₂, x₃, x₄ ortogonális transzformációval foglalkozunk. (Ezen változóknak itt semmilyen geometriai vagy fizikai jelentést nem tulajdonítunk.) Az

lineáris transzformációt akkor nevezzük ortogonálisnak, ha

teljesül. A (30) követelményből az a_{i j} együtthatókra a

feltételt nyerjük. Nevezzük a (29) transzformációnak alávetett x_l, x₂, x₃, x₄ változókat egy x négydimenziós vektor komponenseinek. Az x, y négydimenziós vektorok x_i , y_j komponenseinek T _{i j} = x_i y_j szorzataira (29) felhasználásával a

transzformációs képletet nyerjük. A (32) transzformációnak alávetett T_{i j} mennyiségeket egy T négydimenziós tenzor elemeinek mondjuk. Antiszimmetrikus az F tenzor, ha elemeire F_ij = - F _ji teljesül. Egy négydimenziós antiszimmetrikus tenzor független elemeinek száma

Alkossunk a Kepler-mozgás (L_l, L₂, L₃), (A₁, A₂, A₃) mozgásállandóiból egy négydimenziós antiszimmetrikus tenzort a következő módon. Legyen F₁₂ = L₃, F₂₃ = L₁ F₃₁ = L₂, F₁₄ = A₁ F₂₄ = A₂, F₃₄ = A₃. Az F_{i j} elemeket a szokott módon (i a sor, j az oszlop indexe) négyzetes szkémába elrendezve írhatjuk:

Meg kell követelnünk, hogy a (33) tenzor valós F₁₂ = L₃ stb., F₁₄ = A₁, stb. elemeire a (32) transzformációt alkalmazva valós F'₁₂ = L'₃ stb., F'₁₄ = A'₁ stb. transzformált elemek adódjanak. Ez a követelmény teljesül, ha (29) alatt valamennyi a_ij együttható valós. Ekkor valós x_l, x₂, x₃, x₄ esetén x'_l, x'₂, x'₃, x'₄ is valós és a (29) transzformációk neve: valós négydimenziós ortogonális transzformáció. A (31-32) képletek segítségével kapjuk:

Azaz: a (33) négydimenziós antiszimmetrikus tenzor (29-32) valós ortogonális transzformációival szemben invariáns.

Legyen most

Ha (29) alatt a_{i j} az i, j = 1, 2, 3, valamint az i = j = 4 esetben valós, és az i = 1, 2, 3, j = 4 és j = 1, 2, 3, i = 4 esetekben képzetes, úgy valós G_l2 = L₃ stb., stb. esetén G'₁₂ =L'₃ stb., stb. ugyancsak valós. Most valós x_i mellett x'_i általában nem az (i = 1, 2, 3, 4), ha azonban x₁, x₂, x₃, = x₀ valós, a (29) transzformáció valós x'₁, x'₂, x'₃, = x'₀ értékekre vezet.

Ezen valós változókra (30) értelmében

teljesül. Ilyenkor a (29) transzformációk neve: valós négydimenziós Lorentz-transzformáció. Fennáll:

Azaz: a (35) négydimenziós antiszimmetrikus tenzor (29-32) valós Lorentz-transzformációival szemben invariáns.

Képezzük még a összegeket, ahol az rstu index-négyes fusson végig az 1234 számok valamennyi permutációján; ha a permutáció páros, = 1 ha páratlan, = -1. Felhasználva (33)-at és (35)-öt kapjuk:

Ha az F ill. a G tenzor elemeit a fentieknek megfelelően a (32) mintára ortogonális, ill. Lorentz-transzformációnak vetjük alá, (38) egyszerűen az a_ij együtthatókból alkotott determinánssal szorzódik: azaz

Látható: ha következik.

A talált transzformációk általánosabbak, mint az. elforgatás. Az háromdimenziós vektorok forgástranszformációi a (29) transzformációt az a_i4 = a _4j = 0, det (a_ij) = 1, a₄₄ = 1 módon specializálva nyerhetők.

Eljutottunk tehát az elforgatásnál általánosabb, a Kepler-mozgásra alkalmazható transzformációkhoz, melyek a (28) energiát is változatlanul hagyják. Az E < 0 esetben ezek a (33) négydimenziós antiszimmetrikus tenzor ortogonális transzformációi, melyekre (34) teljesül, az E > 0 esetben pedig a (35) tenzorra alkalmazott Lorentz-transzformációk, melyek (37)-nek tesznek eleget. Ezen kívül mindkét típusú transzformáció valamely Kepler-pályára jellemző merőleges vektorpárt (39) szerint az ugyancsak merőleges és így ismét egy Kepler-pályát meghatározó vektorokba transzformál. [Tanulságos diszkutálni ezen transzformációk szemléletes fizikai jelentését. Az impulzusmomentum és a p paraméter, az excentricitás és velük együtt a kúpszelet-pálva alakja, a hodográf (kör) sugara és centrumának helye változik, a nagytengely, a sebesség az ellipszispályák kistengelyének végpontjaiban és a hiperbolapályák végtelen távoli pontjaiban, előjele, valamint ellipszis-pálya esetében a keringési idő változatlan marad.]

A Kepler-mozgás és annak energiája (a Hamilton-függvény) eszerint a térirányok ekvivalenciáját kifejező geometriai szimmetriánál magasabb fokú szimmetriával rendelkezik. Ez a magasabb szimmetria már nem geometriai természetű, nem a tér tulajdonságaiban gyökerezik, azt inkább a (25) vagy (28) energia kifejezés, vagy a (12) dinamikai törvény speciális szerkezete rejti magában. Innen van az, hogy az ilyen magasabb szimmetriákat rejtett vagy dinamikai szimmetriának is nevezik. A Kepler-probléma rejtett szimmetriáját 1935-ben V. A. Fock ismerte fel.

4. A Kepler-probléma a kvantummechanikában^*78. A klasszikus dinamika és gravitáció Newtonféle törvényeinek felfedezésében oly fontos szerepet betöltött Kepler-probléma a kvantummechanika felfedezéséhez vezető kutatásokban ugyancsak döntő fontosságúnak bizonyult. Rutherford a magtól mért távolság négyzetével fordítva arányos Coulomb-erő hatására hiperbola-pályán haladó alfa-részecskéket használta fel, hogy "kitapogassa" az atommag belsejét. Az alfa-részecskék megfigyelt eltérítése alapján felállított Rutherford-féle atommodell (a Naprendszer parányi mása) volt a további kutatás kiindulópontja. A klasszikus mechanika és elektrodinamika alapján várttól annyira eltérő hidrogénspektrum értelmezésére állította fel Bohr, majd Sommerfeld kvantumfeltételeit. Ezek választották ki a mag körül keringő elektron számára a klasszikus dinamika szerint lehetséges Kepler-ellipszisek folytonos seregéből a "megengedett kvantumpályák" sorozatát. Bohr feltevése, mely szerint az elektron két ilyen E_n, ill. E_m (< E_n) energiájú stacionárius kvantumpálya között végzett "kvantumugráskor" v_nm = (E_n-E_m) / h rezgésszámú fényt bocsát ki, lehetővé tette a megfigyelt hidrogénspektrum leírására felállított Balmer-formula, valamint a relativisztikus finomítással adódó Sommerfeld-féle finomstruktúra-képlet leszármaztatását. A későbbiekben azonban a Bohr-Sommerfeld-kvantumelmélet több esetben nem adott a tapasztalattal egyező eredményt és elvi fogyatékosságai is kiütköztek [lásd Fizikai Szemle 12 (1962) 315]. Az atomi folyamatokat a tapasztalattal teljes összhangban leíró s az elvi fogyatékosságoktól is mentes kvantummechanika Schrödinger-féle változatának (az ún. hullámmechanikának) felállítását, de Broglie megfontolásai készítették elő, ki a H atom megengedett Kepler-pályáit az elektronhoz rendelt hullámtér stacionárius módusaival hozta kapcsolatba. A H atom Kepler-pályáit tanulmányozta Heisenberg is, aki arra törekedett, hogy a hidrogénszínkép vonalainak intenzitására nyerjen képletet. Bár a Kepler-probléma túl bonyolultnak bizonyult, semhogy ezen tanulmány alapján a színképvonalak erősségét megadó helyes kvantumelméleti törvényre el lehetett volna jutni, számításai azonban Heisenberget fontos eredményre vezették. Felismerte, hogy az elektron koordinátája s általában minden fizikai mennyiség á kvantumelméletben mátrixszal jellemezhető. E mátrixok magukban foglalnak minden, a kísérletekből nyerhető információt. Elgondolásait Heisenberg először a Kepler-problémánál egyszerűbb esetben, az anharmonikus oszcillátorra alkalmazta. A Heisenberget vezérlő nagyhorderejű fizikai gondolatok általános matematikai megfogalmazást egy önmagában zárt kvantummechanikává Born, Heisenberg, Jordan, valamint Dirac dolgozataiban nyertek. Heisenberg, mint egy visszaemlékezésében írja, némileg szerencsétlennek érezte magát, hogy nem akart sikerülni az új elméletből (az ún. mátrixmechanikából) a hidrogénspektrumot levezetni. Nagy örömmel és csodálattal üdvözölte, mikor néhány hónap múlva Pauli a hidrogénatom teljes kvantummechanikai elméletével lepte meg.

A hidrogénspektrum Paulitól megadott levezetése a 2. pontban tárgyalt mozgásállandókra: az impulzusmomentum-vektorra s a Laplace-integrálra (más néven Lenz-Runge-Pauli vektorra) támaszkodik. Szoros kapcsolatban van továbbá, mint azt Oscar Klein egy észrevételéből, ill. Hulthén és Bargmann munkáiból tudjuk, a Kepler-problémának a 3. szakaszban megismert "rejtett" szimmetriájával: a négydimenziós ortogonális transzformációkkal szemben mutatott invarianciával.

A Kepler-probléma kvantummechanikai tárgyalásának előkészítéseképpen jegyezzük fel a impulzus- és az koordinátamátrixra vonatkozó

Heisenberg-féle felcserélési törvényt. A , mátrixokból építjük fel a többi fizikai mennység mátrixát. Ha valamely fizikai mennyiség mátrixának csak az átlós elemei különböznek zérustól (azt mondjuk: ha a mátrix átlós alakú), úgy az átlóban álló elemek az adott fizikai mennyiség lehetséges értékeit szolgáltatják. A fizikai mennyiségeket hermitikus mátrixok jellemzik. Egy hermitikus mátrix tükrözés és azzal egyidejű komplex-konjugálás alkalmazásakor változatlan marad. A hermitikus jelleg biztosítja, hogy a fizikai mennyiségek értékeit megadó átlós mátrixelemek valós értékűek.

Képezzük az impulzusmomentum-vektor mátrixát

Mint (40) felhasználásával belátható, ennek komponensei az

felcserélési összefüggéseknek tesznek eleget. - Képezzük most a Laplace-integrál mátrixát. A klasszikus elméletben (20) helyett természetesen

is írható. A kvantummechanikában azonban (40) folytán a mátrixok nem felcserélhetők: . Mindazonáltal, az Laplace-integrál kvantummechanikai kifejezését egyértelműen meghatározza az a követelmény, hogy az mátrix hermitikus legyen. Eszerint a következőképpen épül fel az helyzetvektor-, impulzus- és az impulzusmomentum-mátrixból:

Míg ugyanis a mátrixok nem hermitikusak, az mátrix hermitikus. A Laplace-integrál komponenseire, mint az (40) alapján belátható, az

felcserélési összefüggések érvényesek, ahol

az energiamátrix (az ún. Hamilton-féle mátrix). Hasonlóképpen adódik

Továbbá

[v.ö. (26)-tal]. Keressük az E energiamatrixot átlós alakban. Ekkor (45) és (48) alatt az E matrixszal való szorzás a megfelelő E_n energiaértékkel (átlós matrixelemmel) való szorzást jelent. Szorítkozzunk most kötött állapotokra (E_n < 0) és vezessük be az

mátrix-vektort. A (45), (47), valamint (48) képletekből kapjuk:

Valamint

[v. ö. (28)-cal]. Legyen most Ennek komponenseire a (42), (50), (51) képletekből a

felcserélési összefüggéseket kapjuk. Ezen kívül figyelembevételével belátható, hogy

Írhatjuk tehát (52) helyett:

Az (53) felcserélési összefüggések az impulzusmomentum (42) felcserélési törvényeinek ismert alakját mutatják. Az mátrixot átlós alakban keresve, (53)-ból következik, hogy átlós elemei alakúak, ahol n* nem negatív egész. Az energia lehetséges értékeire eszerint (55) alapján az

képletet nyerjük. A H atom esetében c = e² (e az elemi töltés). Bevezetve az n = n* + 1 főkvantumszámot, a hidrogénszínkép Balmer-képletének megszokott alakját kapjuk:

Foglalkozzunk végezetül az mátrix-vektorok, valamint a Kepler-probléma "rejtett" szimmetriája között a kvantummechanikában fennálló kapcsolattal. Elég, ha a (29) ortogonális transzformációk közül az "infinitezimális" transzformációkkal foglalkozunk, azokkal, amelyek az x'_i = x_i azonos transzformációtól csak "igen kicsit" térnek el. Pontosabban feltesszük, hogy -ben másod- és magasabbrendű tagokat következetesen elhanyagoljuk. A (30) ortogonálitási feltétel teljesül, ha Legyen

Az F tenzortranszformációs képlete infinitezimális transzformáció esetére vagy felhasználva a (33), (58) képleteket:

Képezzük most az 1 egységmátrixtól infinitezimálisan különböző mátrixot. Ennek inverze -ban és -ban első rendig: Vessük alá az mátrixvektorokat U segítségével hasonlósági transzformációnak; (42), (50), (51) felhasználásával (első rendben) kapjuk:

Összehasonlítva az (59), (60) képleteket látható, hogy az U mátrix segítségével hasonlósági transzformációt elvégezve ugyanaz adódik, mint ha négydimenziós ortogonális transzformációt alkalmaztunk volna.

Azt mondjuk ezért, hogy az U mátrixok a valós négydimenziós ortogonális transzformációk alkotta ún. O₄ csoport egy ábrázolásának matrixai. Az mátrix-vektorok ezen ábrázolás infinitezimális generátorai. Hasonlóan a klasszikus elméletben látottakhoz, az kifejezés, és így a vele (52) szerint összefüggő E energiamátrix a kötött állapotokra invariáns O₄-gyel szemben: U^-1 EU = E. Innen következik, hogy U-t az E mátrix valamely sajátvektorára alkalmazva ugyanazon E_n energiaértékhez tartozó sajátvektort nyerünk. Ezen felül tetszőleges adott, az E_n -hez tartozó sajátvektorra az ábrázolás alkalmas mátrixait alkalmazva s a nyert sajátvektorok lineáris kombinációját képezve bármelyik, az E_n -hez tartozó sajátvektor előállítható. Azt mondjuk, hogy valamely adott E_n -hez tartozó sajátvektorok összessége (tere) O₄ egy irreducibilis ábrázolása szerint transzformálódik. Az irreducibilis ábrázolás terének dimenziója az elfajulás foka. A Mengyelejev-féle rendszer periódusainak hosszát megadó 2n² képletben n² tehát az O₄ csoport megfelelő irreducibilis ábrázolásának dimenzióját jelenti. (A kettes csoportelméleti jelentése: a spinfüggvényeket transzformáló SU₂ csoport - természetesen irreducibilis - önábrázolásának dimenziója.)

Hasonlóképpen tárgyalható a kvantummechanikában a pozitív energiákra Lorentz-transzformációkkal szemben mutatott invariancia.

Györgyi Géza
Központi Fizikai Kutató Intézet
Elméleti Fizikai Laboratórium

_______________________________________