SU(2), SU(3), ... (első rész)

Györgyi Géza
Központi Fizikai Kutató Intézet

SU (2)

1. A spin
2. Jordan-Wigner-operátorok
3. Az izospin
4. Kvázispin-operátorok
5. A síkbeli izotróp harmonikus oszcillátor vagy az impulzusmomentum kvantumelmélete Schwinger szerint

6. A térbeli izotróp harmonikus oszcillátor
7. A magok forgási állapotainak mikroszkopikus leírásáról (az Elliott-modell)
8. A hadronok osztályozása Gell-Mann és Ne'eman szerint (a nyolcas út)

9. Wigner-szupermultiplettek
10. Hadron-szupermultiplettek

A cím szokatlanul szűkszavú, ám a Fizikai Szemle olvasóinak eleget mond. Az SU(3) csoport ma az egyik legsűrűbben emlegetett terminusz a fizikában. Gyakran olvashatunk az elemi részek, rezonanciák Gell-Mann és Ne'eman javasolta, az SU(3) csoporton alapuló rendszerezéséről ("nyolcas út"), melynek jelentőségét szokás a Mengyelejev-féle periódusos rendszeréhez hasonlítani, vagy Gell-Mann és Okubo tömegképletéről, melyet a színképvonalak Zeeman-felhasadására vonatkozó Landé-képlettel állítanak párhuzamba; nyitott kérdésekről, feltevésekről (pl. a kvarkokról), valamint a nyolcas út nagy diadaláról, az omega-mínusz hiperon felfedezéséről, mely részecske létezését és tulajdonságait Gell-Mann az SU(3) szisztematika alapján jövendölte meg. - A magszerkezet elméletében is szerephez jutott az SU(3) csoport. Elliott a mag állapotait az SU(3) segítségével osztályozva mutatta meg (az oszcillátormodellt véve alapul), miképpen adható mikroszkopikus értelmezés a magok - korábban csak fenomenológikusan tárgyalt - forgási spektrumára. Kiindulásként ehhez a térbeli izotróp harmonikus oszcillátor Hamilton-operátorának az SU(3) csoporttal. szemben mutatott invarianciája szolgált.

Jóval korábban, mint az SU(3), foglalta el helyét a fizika matematikai apparátusában az SU(2) csoport. Klein és Sommerfeld már a pörgettyű klasszikus kinematikájában hasznát vette az SU(2) transzformációinak. Ez a munkájuk útmutatással szolgált az SU(2) csoport szerepének felismeréséhez a kvantummechanikában. Alapvető fontosságú az SU(2) csoport szerepe az 1/2 spin Wolfgang Pauli, továbbá Neumann János és Wigner Jenő kidolgozta kvantummechanikai elméletében. Szoros rokonságban állnak az SU(2) generátorokkal algebrai tulajdonságaikat tekintve a Jordan-Wigner-féle fermionkeltő és -elnyelő operátorok. Az izospin Heisenbergtől és Wignertől bevezetett fogalmának, mely a magok és a részecskék töltésmultiplettjeinek rendszerezéséhez oly hatékony eszköznek bizonyult, ugyancsak az SU (2) képezi az alapját. [A részecskék töltésmultiplettjeinek tanulmányozása vezetett el a továbbiakban az SU(3) részecskefizikai jelentőségének felismeréséhez.] Szerepet kapott az SU(2) pl. a szupravezetés elméletében is; itt az SU(2) generátor "kvázispin"-operátorokra gondolunk. Az SU(2) csoportot alkotják a síkbéli izotróp harmonikus oszcillátor lineáris kanonikus transzformációi közül azok, amelyekkel szemben az energia (a Hamilton-függvény) invariáns. A térbeli Kepler-probléma Hamilton-függvénye két SU(2) csoport transzformációval szemben is invarianciát mutat. A H atom Hamilton-operátorát (kötött állapotok esetére) az SU(2) generátorokkal kifejezve egyszerű algebrai úton származtathatjuk le a Balmer-képletet.

Az atom- és magspektroszkópia többrészecskeállapotainak osztályozásában sokszor hasznát látjuk a különféle SU(n) csoportoknak. Racah alapvető munkáira utalunk, ki a pályamomentum l, ill. a pályamomentum és a spin eredőjének j értékével jellemzett szintre elhelyezett n számú részecske állapotainak osztályozását tűzte ki feladatul. Itt az SU(2 l + 1), SU(2 j + 1) csoportok és azok különféle alcsoportjai bizonyultak hasznosaknak. Az állapotok osztályozásához támpontot nyújtanak a Hamilton-operátor (pontos vagy közelítő) szimmetriatulajdonságai. Ha pl. az erők függetlenek a spinek irányától, a Hamilton-operátor invariáns a spinfüggvényeket transzformáló SU(2) csoporttal szemben (egyszersmind invariáns a részecskék helyvektorainak egyöntetű elforgatásával szemben is; Russel-Saunders-csatolás). Ha a magban ható erők töltésfüggetlenek (nem függnek az izospinek "irányától"), úgy a mag Hamilton-operátora invarianciát mutat az izospinfüggvényeket transzformáló SU(2) csoporttal szemben. Ha a magban ható erők töltésfüggetlenek és emellett a spinek irányától sem függenek, úgy a mag Hamilton-operátora az előbbieknél magasabb fokú szimmetriát mutat: az SU(4) csoporttal szemben invariáns. Ez az alapja a magszintek Wigner javasolta szupermultiplett-osztályozásának. - A Wigner-szupermultiplettek gondolata újabban fontos útmutatással szolgált a részecskefizikában. Gürsey, Radicati, valamint Sakita felismerték, hogy az erős kölcsönhatásokban résztvevő részecskékre új, az SU(3) szisztematikánál átfogóbb, az SU(6) csoporton alapuló rendszerezés adható. Amint valamely Wigner-szupermutliplett bizonyos spin- és töltésmultipletteket egyesít magában, azonképpen adott SU(6) szupermultiplettben a spin- [azaz SU(2)], valamint az SU(3) multiplettek meghatározott sorozata egyesül. - A részecskeállapotokról nyert, egyre gyarapodó adatok kielégítő leírására törekedve az elméleti fizikusok figyelmüket további, bonyolultabb csoportokra is kiterjesztik.

SU (2)

1. A spin

Az elektron Goudsmit és Uhlenbeck feltevése szerint, melyet ők az atomszínképek finomszerkezetének és "anomális" Zeeman-effektusának értelmezésére vezettek be, a haladó mozgástól független impulzusmomentummal, spinnel rendelkezik. A spin adott irányra vetett vetülete a értékeket veheti fel.

A spinnel rendelkező elektron leírására Pauli olyan függvényt javasolt, amely az r helyvektor mellett egy további s változótól is függ, a spinnek a koordinátarendszer z-tengelyére vetett vetületétől. Az s spinváltozó értékeit röviden a + és - jelekkel jelezzük. A (r, s) állapotfüggvény r két függvényét, (r, +)-t és (r -)-t egyesíti magában. A valószínűségi értelmezés szerint |(r, +) |² a + /2, | (r, -) |² pedig a - /2 spinvetületű elektron megtalálási valószínűségszerűségét adja.

Hagyjuk átmenetileg figyelmen kívül az r-hez tartozó szabadsági fokokat: az elektront a koordinátarendszer kezdőpontjában rögzítve gondoljuk el. Az állapotfüggvény ekkor csak s-től függ. Jele legyen (s). Értelmezési tartománya két pontból áll, független változója dichotomikus. A függvényérték abszolútérték-négyzete annak valószínűségét adja, hogy a spin z-vetületének mérése a + értéket szolgáltassa; hasonlóképpen (-) = _- abszolútérték-négyzete a - értékhez rendelt valószínűséget adja. E valószínűségek összege egy:

Legyen

Az állapotban a +, az állapotban - spinvetület egységnyi valószínűséggel adódik. Az függvények rendszere teljes; bármely felírható mint ezek lineárkombinációja:

Miképpen transzformálódik a koordinátarendszer elforgatásakor? Az eredetileg választott rendszert jelölje K; az új, K-ból elforgatással nyert rendszer jele pedig legyen K'. Azt az állapotot, amelyben a K' rendszer z'-tengelyére vetett spinvetület + értéke egységnyi valószínűséggel adódik, jellemezze ; az állapotban pedig a z'-vetület - értékéhez tartozzék egységnyi valószínűség. Az rendszer teljessége folytán írható:

Legyen

A állapotban a spin z'-vetületének értékeihez ugyanazok a valószínűségek tartoznak, mint a állapotban a z-vetület értékeihez. Írható

is, ahol

Jelentse a komponensekkel rendelkező kétdimenziós komplex állapotvektort, a mátrixot pedig jelölje . Írhatjuk (1.7) helyett tömörebben:

Az (1.1) feltételnek -re éppúgy teljesülnie kell mint -re:

Innen következik, hogy unitér:

A mátrix a koordinátarendszerre alkalmazott R elforgatás függvénye: = (R). Alkalmazzuk először az R_l, majd az R₂ elforgatást. A vektorra először a (R_l), majd a (R₂) mátrixot kell alkalmaznunk:

Az egymást követő R₁, R₂ elforgatások helyettesíthetők egyetlen R₃ elforgatással:

Az R elforgatások halmaza csoport. Ez a forgáscsoport; (1.12) egyike a csoporttulajdonságoknak. Az R₃ elforgatáskor a

vektorba megy át. Az (1.11), (1.13) vektorok ugyanazt az állapotot írják le, egymástól legfeljebb egységnyi abszolútértékű komplex tényezőben különböznek. Írható:

Az (1.10) összefüggés szerint

Innen következik, hogy tetszőleges unitér mátrixot alkalmas exp tényezővel megszorozva unimoduláris ( = egységnyi determinánsú) unitér mátrix nyerhető. Minthogy az egymástól egységnyi abszolút értékű komplex tényezőben különböző vektorok ugyanazt az állapotot írják le, ez a tényező rögzíthető a követelménnyel: unimoduláris legyen. Ekkor -ra az az = 1, feltételt nyerjük. Most (1.14) helyett

teljesül.

A 2 x 2-es unitér mátrixok halmaza csoport. Ez az U (2) unitér csoport. Ugyancsak csoportot alkotnak U(2) mátrixai közül az unimodulárisak. Ennek neve: az SU(2) speciális vagy unimoduláris unitér csoport. Mind az U(2), mind az SU(2) Lie-csoport. A csoportot alkotó mátrixok véges számú, folytonosan változó paraméterrel jellemezhetők; a mátrixok a paramétereknek analitikus függvényei. Megjegyezzük, hogy a Lie-csoportok közé nemcsak mátrixcsoportok tartoznak. A csoportelemek ilyenkor is véges számú folytonosan változó paraméterrel jellemezhetők; a paraméterek, melyek két elem szorzatának felelnek meg, az egyes tényezőket jellemző paraméterektől analitikusan függnek. Pl. a forgáscsoport is Lie-csoport.

*

Az (1.8 )-beli a koordinátarendszerre alkalmazott R elforgatástól függ. Minden R-nek megfelel az SU (2) valamely mátrixa, mellyel az állapotvektort (1.7-8) szerint transzformálni kell. E megfeleltetés az (1.12), (1.17) tulajdonságú.

Az elforgatások és az SU (2) mátrixai között létesített ilyen megfeleltetés képezte az alapot ahhoz, hogy Klein és Sommerfeld az SU (2) csoport mátrixait a pörgettyű klasszikus leírására felhasználja. Ezt a megfeleltetést használta fel Pauli az elektronspin kvantummechanikájában.

Most megmutatjuk, miképp létesíthető az R elforgatások és az SU (2) mátrixai között az (1.12), (1.17) tulajdonságú megfeleltetés. A unimoduláris mátrixra az unitér jelleget posztuláló (1.10) feltételből kapjuk:

Legyen T₁₁ = s - it, T₂₁ = v - iu. Az unimodularitás det = 1 feltétele szerint s² + t² + v² + u² = 1. Ebből így írható: Vezessük be az n_1, n_2, n₃ mennyiségeket az

definícióval. Ennek alapján írható:

Az n₁, n₂, n₃ számhármas: egy n egységvektor komponensei; a szögletes zárójelben álló három Pauli-mátrix összefoglaló jelölésére pedig bevezetjük a háromkomponensű mátrix-vektort:

Ennek alapján mint függvénye így írható:

(Az egységmátrix explicit kiírását mellőzzük.) A Pauli-mátrixok között fennáll a

összefüggés. Az szimbólum definíciója: minden indexpárban antiszimmetrikus; a kétszer fellépő indexekre - itt t-re egytől háromig összegezni kell.

Legyen

és alkalmazzuk itt -re az SU (2) csoport (1.23) mátrixát. Kapjuk:

-nek (1.23-24) felhasználásával a

alak adható. Beírva (1.27)-et (1.26)-ba, kapjuk:

A v' vektor a v-ből az n egységvektor mint forgástengely körül elvégzett szögű (azaz: forgásvektorú) elforgatással áll elő. Megfeleltetést nyertünk az SU(2) mátrixai és az elforgatások között; az (1.12), (1.17) követelmény teljesül.

A nyert megfeleltetésre ad hoc jellegű lépésekkel jutottunk. Kereshetünk olyan általános eljárást is, amellyel az elforgatások és az SU(2) mátrixai között létesíthető megfeleltetések, melyekre (1.12), (1.17) teljesül, módszeresen felkutathatók.

*

Deriváljuk az SC7 (2) csoport mátrixát az forgásvektor szerint az = 0 helyen. A

mátrix-vektor komponenseinek neve: az SU(2) csoport infinitezimális mátrixai. A mátrix (1.23) kifejezését felhasználva kapjuk:

Szokásos még a generátor elnevezés is, melyet komponenseire is alkalmaznak.

"Infinitezimális" -ra (az = 0 hely oly kis környezetében, hol elég az -ban első rendű tagokat kiírni) ezen infinitezimális mátrixok segítségével az állapotvektor megváltozása egyszerűen nyerhető; (1.8), (1.29) alapján írhatjuk:

a ... magasabb rendű tagokat jelöl. A mátrixra (1.29) alapján

az (1.26-28)-cal megadott v'-re pedig

írható. Értelmezhetjük - követve az (1.31) mintát - a

képlettel az I mátrix-vektort; ennek komponensei a forgáscsoport infinitezimális mátrixai, másként: az infinitezimális forgásmátrixok. Az (1.33), (1.34) képleteket összehasonlítva kapjuk:

Míg az első rendű tagokra szorítkozunk az elforgatások egymást követő alkalmazásakor, s ugyanúgy az SU(2) csoport mátrixainak összeszorzásakor, a megfelelő forgásvektorok összeadódnak. Első rendben ( = 0 közvetlen környezetében) eszerint fennáll

(1.17) teljesül a + előjellel. Látható továbbá, hogy míg az első rendű tagokra szorítkozunk, az egymást követő elforgatások, ill. egymással összeszorzott SU(2) mátrixok felcserélhetők; a kommutativitástól eltérés csak magasabb rendben jelentkezhet.

Alkalmazzuk most egymás után az R₁, R₂ elforgatásokat (forgásvektoraik legyenek ), majd az inverz elforgatást (ezek forgásvektorai ). A v vektor ezen elforgatáskor fellépő megváltoztatására (1.34) felhasználásával kapjuk:

itt a ... harmad- és magasabb rendű tagokat jelöl; [A, B] jelentése a szokásnak megfelelően AB-BA. Hasonlóképpen nyerjük megváltozását (1.31) felhasználásával:

A megváltozásra másrészről (1.33)-at felhasználva adódik; ez az (1.33-34) mintára a

alakba írható. Minthogy eszerint forgásvektora megváltozását a

alakban is felírhatjuk. Az (1.37) és (1.39), ill. az (1.38) és (1.40) képleteket összehasonlítva I-re és -ra a

összefüggéseket nyerjük. Minthogy tetszés szerint választható, (1.41-42) helyett

Vagy

is írható. E felcserélési összefüggések fennállásáról az I és mátrix-vektorok (1.35), ill. (1.30), (1.22) konkrét alakját felhasználva természetesen ugyancsak meggyőződhetünk. Kiemeljük, hogy midőn fent (1.38) és (1.40) összehasonlításával állapítottuk meg: az mátrixokra az I_r infinitezimális forgásmátrixok (1.45) felcserélési összefüggéseivel alakilag egyező (1.46) felcserélési összefüggéseknek kell teljesülniök, nem használtuk fel a mátrix (1.22-23) kifejezését vagy (1.30), (1.22) alakját, hanem csak annyit tettünk fel, hogy a -t elforgatáskor transzformáló helyen az (1.32) minta szerint sorba fejthető.

Az elforgatások és az SU (2) csoport mátrixai között létesíthető, kívánt tulajdonságú [vö. (1.12), (1.17)] megfeleltetések módszeres felkutatása a Lie-Cartan-féle infinitezimális módszer segítségével történhet. Ebben az infinitezimális mátrixok és azok felcserélési összefüggéseinek [vö. (1.45-46)] szerepe alapvető.

Legyenek az infinitezimális forgásmátrixok (1.45) felcserélési összefüggéseivel egyező alakú (1.46) felcserélési összefüggéseket teljesítő mátrixok. Egyébként tetszőleges lehet; most tehát -t nem feltétlenül (1.30), (1.22) adja meg. Ekkor Lie tétele szerint az forgásvektor 0 értékének (a forgáscsoport egységelemének) bizonyos környezetében minden R elforgatásnak megfeleltethető egy-egy [részletesebben: (R) vagy ] mátrix oly módon, hogy

1. -vel egyenlő [ (vö. (1.29) ],
2. R₃ = R₂R_l mellett fennáll

[vö. (1.12), 1.36)].

Az R elforgatásoknak ilymódon megfeleltetett mátrixokról azt mondjuk, hogy azok a forgáscsoport lokális ábrázolását képezik.

Deriváljuk -t rögzített irányú mellett szerint; a -től megkívánt (1.36), (1.29) tulajdonságok felhasználásával kapjuk:

Ez a differenciálegyenlet - a (0) = 1 kezdeti feltétellel együtt - az hely bizonyos környezetében -t egyértelműen meghatározza. Valóban, innen a deriváltra adódik, így Taylor-sora az helyen

Az (1.48) sorral előállított rendelkezik az (1.29), és az hely bizonyos környezetében az (1.12), (1.36) tulajdonsággal.

Mindazon zérustól különböző mátrixok, amelyek megoldásai az (1.46) vagy (1.44) felcserélési összefüggéseknek, megkaphatók az (1.30), (1.22) speciális megoldásból valamely (1.27) transzformáció (elforgatás) segítségével:

itt alkalmas 2 X 2-es unitér unimoduláris mátrix. A mátrixokra ugyancsak teljesül (1.24), ahonnan tetszőleges n egységvektor mellett következik

fennállása. Behelyettesítve (1.49) alakját (1.48)ba, -et írva és (1.50)-et figyelembe véve kapjuk:

Rójuk ki az forgásvektorra az korlátozást és követeljük meg, hogy esetén első el nem tűnő komponense pozitív legyen. Ezzel biztosítjuk az elforgatások és a forgásvektorok között létesített megfeleltetés egy-egyértelműségét. Ezek után megállapíthatjuk, az hely mely környezetben teljesül (1.36), megfelelően Lie fent idézett tételének. Ha pl. az R_l, R₂ elforgatások forgásvektorai párhuzamosak: , , úgy (1.36) mindaddig teljesül, amíg a. Tetszőleges irányú , esetén (1.36) fennállásához szükséges. Ezzel verifikáltuk, hogy az (1.51) alatt meghatározott mátrixok - az hely mondott környezetében - a forgáscsoport lokális ábrázolását képezik. Tetszőleges R₁, R₂ elforgatásokra nem feltétlenül rendelkezik az (1.12), (1.36) tulajdonsággal; (1.12), (1.17) azonban bármely R₁, R₂ mellett teljesül. Azt mondjuk ezért, hogy az (1.51) mátrixok a forgáscsoport kétértékű ábrázolását képezik. [Megjegyezzük, hogy a kétértékű ábrázolások felléptének lehetősége összefügg a forgáscsoport kétszeresen összefüggő voltával. A kvantummechanika céljára az ilyen kétértékű ábrázolás - mint (1.11-17 ) alatt láttuk - megfelel. Nincs ok arra, hogy a mindenütt az (1.12), (1.36) tulajdonságú, a szó szoros értelmében vett - egyértékű - ábrázolásokra szorítkozzunk; sőt, megengedett az (1.12), (1.14) tulajdonságú sugár- vagy projektív ábrázolások használata is.]

Vessük össze a mátrix teljes általánosságban meghatározott (1.51) kifejezését az ad hoc módon nyert (1.23) alakkal. Az eltérés csupán abban áll, hogy az (1.23) alatt szereplő Pauli-féle mátrix-vektor helyét (1.51)-ben a -ból elforgatással nyert ' foglalja el. Használhatjuk tehát az (1.23) alakot anélkül, hogy ezzel az általánosságon csorba esnék. [Az (1.23), (1.51) kifejezések egybevetése Lie idézett tételének szemléltetéséül szolgálhat: az inf. mátrixok (1.30) választása (1.23)-ra, az általánosabb (1.49) választás (1.51)-re vezet.]

*

Az (1.22), (1.30) alatt értelmezett generátorok helyett sokszor használatosak az egyszerűbb tulajdonságú

kombinációk [ezeket ugyancsak nevezik SU (2) generátoroknak]. Feljegyezzük ezek felcserélési összefüggéseit:

továbbá az állapotvektorokra [vö. (1.2)] gyakorolt hatásukat megadó

képleteket.

*

Az mátrix-vektorra, amint az pl. (1.22) vagy (1.24) felhasználásával belátható, fennáll:

Ez éppolyan alakú, mint a pályaimpulzusmomentum operátorára érvényes

összefüggés. Ezen felül, amint az (1.27) felhasználásával belátható, s várható értéke, elforgatásakor vektorként transzformálódik. Mindez kézenfekvővé teszi, hogy az elektronspin kvantummechanikai operátorának tekintsük. Pauli ténylegesen (1.55), (1.56) alaki egyezése alapján javasolta az elektronspin kvantummechanikai leírására, s a spinfüggvényeket elforgatáskor transzformáló mátrixot oly módon szerkesztette meg, hogy s várható értéke vektorként transzformálódjék.

Adható az impulzusmomentumra olyan általános definíció, mely a klasszikus és a kvantummechanikában, s az utóbbin belül a pályamomentumra és a spinre egyaránt alkalmazható. A klasszikus mechanikában az r helyvektor és a p impulzus r p vektorszorzatával generált kanonikus transzformáció elforgatást ír le. Ha a H Hamilton-függvény az elforgatásokkal szemben invariáns: (mint pl. centrális erő esetén), úgy következik, hogy a transzformációt generáló r p állandó a mozgás folyamán. Az r p impulzusmomentumra jellemző tehát, hogy megmaradása a Hamilton-függvény forgásinvarianciájából következik. Hasonlóképpen jellemezhető az impulzusmomentum a kvantummechanikában. Alkalmazzuk a spinnel rendelkező állapotfüggvényére, vagy ha úgy tetszik, a komponensekkel rendelkező kétdimenziós komplex vektorfüggvényre az forgásvektorú elforgatást. Eltekintve egy pillanatra helyfüggéstől (átmenetileg "rögzítve" az elektront), megváltozását az  = 0 hely elég kis környezetére szorítkozva az (1.31) minta alapján így írhatjuk:

Ehhez járul a helyfüggés folytán fellépő , vagy másképpen, a

megváltozás. Az elforgatás okozta teljes megváltozás (1.57) és (1.58) összege:

Alkalmazzuk -re a H Hamilton-operátort és képezzük a H függvény megváltozását. Egyrészről írható: Ha H forgásinvariáns : (1.59)-et ide behelyettesítve kapjuk:

Másrészről a H függvényt (1.59)-be helyére helyettesítve nyerjük:

Minthogy bármily állapotfüggvény lehet és is tetszőleges, (1.60)-at és (1.61)-et összehasonlítva írhatjuk:

Innen következik, hogy a operátor kvantummechanikai időderiváltja eltűnik, az tehát mozgásállandó. Maga nemhermitikus és dimenziótlan; -sal szorozva hermitikus, impulzusmomentum-dimenziójú operátort nyerünk. A kapott

kifejezés első tagja a pályart~omentum operátora; a második tag nyilván a haladó mozgástól független "sajátimpulzusmomentum"-ot, a spint képviseli. A spin az, amit a pályamomentumhoz hozzá kell adnunk annak érdekében, hogy tetszőleges forgásinvariáns H mellett megmaradó impulzusmomentum-operátort nyerjünk. A szokásos (1.30) választás mellett adódik a spinoperátor

Pauli-féle alakja; s komponenseinek mátrixát, ill. hatását az állapotvektorokra (1.22) vagy (1.52), ill. (1.54) határozza meg.

*

A spinoperátor ismeretében felírhatjuk pl. az elektron energiáját valamely adott külső mágneses térben (Zeeman effektus), vagy a finomszerkezet-felhasadást meghatározó spin-pálya-energiát.

Az elektronspinnel kapcsolatos mágneses momentum (mágneses espinmomentum) Goudsmit és Uhlenbeck nyomán az operátorral reprezentálható; a mágneses pályamomentum operátora pedig Az eredő mágneses momentum és a H külső mágneses tér kölcsönhatási energiájának operátora

A több elektronra érvényes kölcsönhatási energiaoperátor ezt minden elektronra összegezve nyerhető; a nyert kifejezés (1.65)-ből l-et L= -lel, s-et S = -sel helyettesítve áll elő:

Az utóbbi alakban J = L + S az elektronok pályaimpulzusmomentumának és spinjének eredője. A mágneses kölcsönhatás okozta perturbáció kiszámítása a perturbációelmélet alapján történhet. Eközben (l.66)-ban S helyettesíthető -vel; a együttható értékét azón követelmény segítségével rögzíthetjük, hogy a JS és operátoroknak az adott perturbálatlan energiaszinthez tartozó sajátfüggvényekkel képezett - egyetlen számadat meghatározta, átlós - mátrixai egyezzenek meg. [Mindez megállapítható a csoportok ábrázolásának elmélete alapján; a Wigner-Eckart-tételre is hivatkozhatunk.] Jellemezze a perturbálatlan energiaszintet a J², L², S² operátorok sajátértéke; mátrixát egyenlővé téve kapjuk:

Legyen a H mágneses tér z-irányú: H (0, 0, H); válaszuk továbbá a perturbálatlan -ket a J_z operátor sajátfüggvényeinek: . Beírva S helyére -t és figyelembe véve (1.67)-et, képezzük az (1.66) perturbációs operátor mátrixát ezen perturbálatlan sajátfüggvények felhasználásával. A nyert átlós mátrix átlós elemei szolgáltatják a mágneses tér okozta energiaperturbációt:

Ez a Landé-képlet.

A finomszerkezet-felhasadást eredményező spinpálya-energia az ls skalárszorzattal arányos; a kiértékelés a fentiekhez hasonlóan, az átalakítást elvégezve történhet (itt j = l + s).

*

Végezetül hadd álljon itt egy rövid elmefuttatás a kvantummechanikában oly alapvető szuperpozíció-elvről. - A kvantummechanika az anyag lehetséges állapotainak lényegesen gazdagabb sokaságát ismeri, mint a klasszikus mechanika. (Ez különös ellentétben áll a kvantummechanika előtt uralkodott felfogással, mely szerint a kvantumelméleti törvények funkciója: kiválasztani egyes "megengedett" állapotokat a klasszikus mechanika mozgásállapotainak gazdagabb seregéből.) A kvantummechanika szuperpozíció-elve azt állítja, hogy a rendszer bármily állapotfüggvényeinek tetszőleges komplex együtthatókkal képezett -- normált - lineárkombinációja újabb lehetséges állapotot ír le. Ha - mint legtöbbször - az állapotok teljes rendszere végtelen, úgy a rendszer állapotának meghatározásához a komplex számok végtelen sorozatát kell megadnunk; a klasszikus mechanikában ezzel szemben elég 2f adat, ahol f a szabadsági fokok száma. Az állapotok seregét általában nem könnyű áttekinteni; nehezen mondható meg: tetszőlegesen adott állapotban mely fizikai mennyiségek rendelkeznek meghatározott értékkel. Nem ismeretes általános útmutatás arra nézve, hogy a rendszer miként hozható adott állapotba.

Az 1/2 spin, a függvény esetében, mikor is a független változó dichotomikus és a teljes rendszer két függvényből áll, e nehézségek nem lépnek fel; a szuperpozíció-elv következményei könnyen taglalhatók. - Képezzük a teljes rendszert alkotó állapotvektorokból a normált, egyébként tetszőleges szuperpozíciót. Legyen c₊ = s - it, c_- = u - iv  (s² + t² u² + v² = 1). E szuperpozíció, mint az pl. (1.4-5), (1.8) segítségével belátható, -ból az (1.20) alatt megadott alkalmazásával nyerhető:

Mint látjuk, a megadott szuperpozíció elforgatással kapható. - Az állapotvektor az spinkomponens sajátvektora a sajátérték mellett [vö. pl. (1.64), (1.52), (1.54)]. A -nek megfelelő R elforgatással nyert K' rendszer z-tengelyére vetett spinvetületet, mint (1.28), (1.23), (1.27) segítségével megmutatható, reprezentálja. Az (1.69) állapotvektor ennek a sajátértékhez tartozó sajátvektora: itt felhasználtuk (1.10)-et. Hasonlóképpen belátható, hogy a operátorokra és az állapotvektorokra (1.54)-gyel analóg összefüggések állnak fenn.

A fentiekből kiviláglik, mily lényeges a kvantummechanikai állapottér komplex jellege. A együtthatók valós és képzetes része egyenrangúan fontos meghatározói az elforgatásnak, mellyel az elektronspin a megadott (1.69) állapotba hozható.