Fizikai Szemle 2003/9. 342.o.

Négyszögletes kerék

Hosszabb szünet után ismét folytatjuk az 1996-ban anyaghiány miatt megszakadt problémamegoldó rovatunkat, a sokak által népszerűnek tartott "Négyszögletes kereket". Kérjük tisztelt kollégáinkat és a Szemle valamennyi Olyasóját, fizikusokat és fizikatanárokat, orvosokat és biológusokat, a ravasz logikai feladatokat kedvelő középiskolásokat és akadémikusokat, hogy a rovat "életben tartása" érdekében küldjenek be matematikailag nem túl bonyolult, de logikus gondolkodást, egy-egy jó ötletet igénylő feladatokat, problémákat - lehetőleg megoldással együtt. Elsősorban fizikai, vagy a fizika határterületeihez tartozó feladatokat várunk, de más jellegű problémákat is közzétehetünk. Nem szükséges, hogy a feladatok eredetiek legyenek, de a forrást (ha ismert), kérjük, nevezzék meg. A feladatjavaslatokat lehetőleg drótpostán (gnadig@komal.hu címre), vagy hagyományos levélben a Szerkesztőségbe kéri a rovatvezető. Az új feladat megoldását is beküldheti bárki, vagy hozzászólhat a már megjelent megoldáshoz. Ezekre a levelekre válaszolunk, illetve az érdekes megjegyzéseket, kiegészítéseket közzétesszük.

Az ábrán látható tartálykocsi vízszintes talajon elhanyagolható súrlódással mozoghat. A tartálykocsiban víz van, és az egész rendszer kezdetben nyugalomban van. Mozgásba jön-e a kocsi (s ha igen, hogyan?), ha a kocsi közepétől l távolságra levő, függőlegesen lefelé álló kifolyócsövön kiengedjük a vizet a tartályból. Valaki azt állítja, hogy a kiürült kocsi mozogni fog. Ha ez igaz, vajon jobbra, vagy balra? D.J. Szaharov nyomán Szbornyik zadacsi po fizike Moszkva, 1973.

Kezdetben a tartálykocsi is és a benne levő víz is nyugalomban van. Mivel vízszintes irányú külső erő nem hat, a rendszer vízszintes irányú impulzusa mindvégig nulla kell maradjon, és a tömegközéppont vízszintesen nem mozdulhat el.

Amikor a víz elkezd kifolyni a nyíláson, a víz tömegközéppontja balra mozdul el, a tartálykocsi tehát jobbra kell mozduljon. (A lendületmegmaradás törvénye eközben úgy teljesül, hogy a tartálykocsin belül a víz a földhöz képest balra áramlik.)

Tételezzük fel, hogy a tartálykocsi mozgása mindvégig változatlan irányú (tehát jobbra mutató) marad. Ha ez igaz lenne, akkor a kifolyó víz (amely a tartálykocsihoz képest függőlegesen mozog) jobbra mutató eredő vízszintes impulzussal rendelkezne, és az üres kocsi impulzust is ugyanilyen irányú (vagy esetleg nulla) lenne; ez pedig ellentmond az impulzusmegmaradás törvényének. A kocsi mozgásiránya tehát a víz kifolyása közben valamikor megfordul, vagyis a tartálykocsi bizonyos ideig balra is mozog. Elvben elképzelhető lenne, hogy a kocsi mozgásiránya még többször is megváltozik, részletesebb matematikai analízissel azonban ki lehet mutatni, hogy ez nem következik be, az üres kocsi is balra fog mozogni. A kocsi sebességirányának megváltozását a tartály belsejében kezdetben balra mozgó víz lefékeződése okozza A víz a tartály bal oldali falára nagyobb erőt fejt ki, mint a jobb oldalira, ez a dinamikai magyarázata a jobbra mozgó tartály lefékeződésének, majd balra való elindulásának.

A tartálykocsi és a víz furcsának tűnő mozgását egy egyszerű (természetesen idealizált) példán keresztül is szemléltethetjük. Képzeljünk el egy M tömegű ideális (súrlódásmentesen mozgó) vasúti kocsit, amelynek közepén egy m tömegű bliccelő diák és egy ugyancsak m tömegű, szigorú kalauz található. Kezdetben a kocsi is, a kalauz is és a diák is mozdulatlan. Amikor a kalauz felfedezi, hogy az utasának nincs jegye, a diák a kocsi bal oldali peronja felé kezd el szaladni, a kalauz pedig utána. Természetesen eközben a kocsi is mozgásba jön, méghozzá jobb felé. A diák eléri a peront, leugrik a lassan mozgó kocsiról, méghozzá annak hossztengelyére merőlegesen, tehát (a töltéshez képest) jobb felé mutató sebességkomponenssel. A kocsi még mindig jobbra mozog, mert a kalauz bal felé szalad.) A kalauz is eléri a peront, és ott (a kocsihoz képest) megáll. Ebben a pillanatban a kocsi (és a kalauz) még mindig balra kell mozogjon, mert a diák által "elvitt" impulzus ezzel ellentétes irányú volt.) Végül a kalauz is leugrik a vonatról, és a diák után ered, miközben az üres kocsi megtartja balra mutató sebességét.

Ha az elképzelt történetet általánosítjuk n diákra és egy őket üldöző kalauzra, majd a peronon való megtorpanásnak megfelelő rugalmatlan “ütközések" következményét n » 1 esetben számítógéppel számoljuk, az eredeti folyadékáramlási problémának elég reális, diszkrét modelljét kapjuk Ennek részletesebb elemzését azonban az érdeklődő Olvasóra bízzuk.

Mihez kell nagyobb energia, ahhoz hogy egy bizonyos tömegű testet a Naprendszerből eltávolítsunk, vagy ahhoz, hogy ugyanezt a testet a Napba juttassuk? Mekkora a szükséges energiák aránya? (A test kezdetben a Föld felszínén nyugszik. A Napot tekintsük pontszerűnek, a szükséges energiát pedig mérjük - mondjuk - a rakéta hajtóművében elégetett üzemanyag mennyiségével!)

Marx György feladata nyomán