NEUMANN JÁNOS ÉS A KVANTUMELMÉLET

Nagy Tibor, Bántay Péter
ELTE Elméleti Fizika Tanszék

A huszadik század nagy, magyar származású tudósainak sorából is kiemelkedik Neumann János alakja. Nevéhez legtöbben a programvezérlésű számítógépek megalkotását társítják, bár ezen túlmenően olyan teljesítmények fémjelzik munkásságát, mint a játékelmélet, a sejtautomaták elmélete, az azóta róla elnevezett operátoralgebrák elmélete, és hosszan lehetne folytatni a modern tudomány mai arculatát alapvetően meghatározó eredményeit. Munkásságának egyik fontos, az elmúlt években újra az érdeklődés középpontjába került területe a kvantumelmélet precíz matematikai alapjainak megalkotása. Jelen tanulmány Neumann e téren kifejtett munkásságát és annak a jelen fizikájára való hatását kívánja közérthető formában röviden áttekinteni.

A huszadik század nagy természettudományos forradalmának, a kvantumelmélet megszületésének körülményeit tengernyi irodalom tárgyalja, ezért a részletek ismertetésétől eltekintünk. Mindössze annyit kívánunk megjegyezni, hogy bár az elmélet fizikai alapelveinek felismerésével egy időben kialakult a konkrét számítások elvégzését lehetővé tevő és kvantitatív jóslatokat nyújtó matematikai leírás, de ez két, látszólag jelentősen eltérő változatban látott napvilágot: a parciális differenciálegyenletek elméletén alapuló Schrödinger-féle hullámmechanika, illetve a Heisenberg nevével fémjelzett, a végtelen mátrixok algebrájára épülő mátrixmechanika. Neumann érdeme annak belátása, hogy eme két leírás nem más, mint egyazon elmélet más-más szempontú, de egyenértékű megfogalmazása, illetve hogy megtalálta a tények leírására legadekvátabb matematikai apparátust: a Hilbert-terek és azok operátorainak elméletét. Bár Dirac és Feynman munkája nyomán ma már tudjuk, hogy létezik egy alternatív matematikai leírás a funkcionálintegrálok segítségével, amely szemléletes volta miatt bizonyos esetekben alkalmasabb az elvi megfontolásokban, de a gyakorlati számítások döntő többsége mindmáig az eredeti, operátoros megfogalmazáson alapul.

A kvantumelmélet jelentőségét nem szükséges külön hangsúlyozni: nemcsak modern természettudományos világképünket határozza meg döntő módon, de már a mindennapokban is lépten-nyomon találkozhatunk olyan technikai berendezésekkel, amelyek a kvantumelmélet valamely felismerését hasznosítják, illetve amelyek működése kvantumos jelenségeken alapszik. Elég itt olyan közismert példákat megemlíteni, mint a lézer, vagy a modern félvezetőipar termékei.

Bármennyire zseniális fizikusok voltak a kvantumelmélet megteremtői, az elmélet újszerűsége, a józan észnek gyakran ellentmondani látszó jóslatai miatt szükség volt a matematikai apparátus belső konzisztenciájának mélyreható elemzésére. Ezt a feladatot végezte el Neumann János klasszikussá vált, A kvantummechanika matematikai alapjai című munkájában. Persze, nagy tudóshoz méltón, nemcsak a már többé-kevésbé kialakult elmélet precíz megfogalmazását adta a funkcionálanalízis eszközeivel, hanem munkája több, Fontos új eredményt és fogalmat tárt fel, amelyek nagy jelentőségre tettek szert a későbbiekben.

A kvantummechanikának Neumann által adott, a Hilbert-terek és azok operátorainak elméletére támaszkodó megalapozása lehetővé tette több alapvető kérdés szigorú és részletes tárgyalását. Példaként említhetjük a Heisenberg-féle felcserélési relációk kérdését. Ezen relációk a kvantumelmélet lényegét fejezik ki: az (egyirányú) impulzus- és koordináta-operátorok egymással nem cserélhetők fel, azaz egyidejűleg nem mérhető fizikai mennyiségeket reprezentálnak, ami lényegét tekintve a határozatlansági elv tartalma. A kvantummechanika szokásos Schrödinger-féle tárgyalásában, ahol az állapottér a négyzetesen integrálható függvények Hilbert-tere, és a koordináta-operátor a koordinátával való szorzás, míg az impulzus-operátor a koordináta szerinti deriválás (szorozva -i-sal, ahol i a képzetes egység és a Planck-állandó), a felcserélési relációk automatikusan teljesülnek, de fe1merül a kérdés: nincs-e más lehetőség az operátorok megválasztására, hogy a relációk még mindig teljesüljenek. E kérdést válaszolja meg Neumann egyértelműségi tétele, amely szerint - véges sok szabadsági fok esetén a felcserélési relációk minden ábrázolása ekvivalens a Schrödinger-féle alakkal, más szóval bármely választás ugyanazon fizikai eredményekre vezet. Meg kell jegyeznünk, hogy a szabadsági fokok számának végességére vonatkozó feltétel lényeges: végtelen sok szabadsági fok esetén, azaz a kvantumtérelméletben, az egyértelműség már nem áll fenn, vagyis a csererelációknak több, fizikailag nem egyenértékű ábrázolása lehetséges.

Neumann munkájának egy másik fontos eredménye a rejtettparaméter-elméleteknek a kvantummechanikával való összeegyeztethetetlenségének bizonyítása volt. A rejtettparaméter-elméletek alapgondolata az, hogy a kvantumelmélet indeterminizmusa csak látszólagos, és ismereteink hiányos voltán alapszik, analógiában a kinetikus gázelmélettel, ahol csak statisztikai kijelentéseket teszünk a gázrészecskék mozgására vonatkozóan, bár elvileg lehetőség lenne a gáz minden részecskéjének mozgását determinisztikusan leírni. Hasonló módon feltételezhető, hogy a kvantumvilág jelenségeit determinisztikus módon meghatározzák bizonyos mennyiségek, az úgynevezett rejtett paraméterek, de mivel mi nem ismerjük ezeket, ezért leírásunk csak valószínűségi jellegű állításokra alkalmas. Neumann bebizonyította, a mérési folyamatra vonatkozó néhány nyilvánvalónak tetsző matematikai posztulátumra alapozva, hogy a rejtett paraméterek létezése nem egyeztethető össze a kvantumelmélettel, vagyis a kvantummechanika indeterminizmusa nem ismereteink hiányosságának következménye, hanem alapvető fizikai törvényszerűség.

A fent említett eredménynek hosszú és izgalmas utóélete lett. Ennek oka abban rejlik, hogy a bizonyítás elemzése során a kutatók ráébredtek a mérési folyamat jellegére vonatkozó Neumann-posztulátumok egyikének kérdéses voltára. Eme hírhedtté vált ötödik posztulátum (melyet sokan párhuzamba állítottak Eukleidész ötödik, párhuzamosokra vonatkozó posztulátumával) túlságosan megszorítónak bizonyult: elképzelhető olyan rejtettparaméter-elmélet, amely nem teljesíti Neumann ötödik posztulátumát, de összhangban van a többi fizikai alapelvvel. Az ebből adódó lehetőségek vizsgálata vezette évtizedekkel később John Bellt híres egyenlőtlenségeinek felállítására, melyek segítségével végül sikerült kísérletileg bebizonyítani a rejtettparaméter-elméletek tarthatatlanságát.

Neumann kvantumelméleti munkásságának egy igen fontos része a statisztikus fizika kvantumelméleti megalapozása. Ennek során bevezette a kevert állapotok, illetve a leírásukra alkalmas sűrűségoperátorok fogalmát, bebizonyította a klasszikus ergodtétel kvantumos megfelelőjét, és megalkotta a Boltzmann-féle entrópiafogalom kvantumelméleti általánosítását, amelyet tiszteletére azóta is Neumann-entrópiának neveznek. A Neumann-entrópia különösen jelentős szerepre tett szert korunk egyik legizgalmasabb és legdinamikusabban fejlődő tudományában, a kvantuminformatikában. Ezen elmélet azzal a kérdéskörrel foglalkozik, hogy mi történik akkor, ha információk kódolására nem egy klasszikus, hanem egy kvantumrendszer állapotterét használjuk fel, illetve hogyan dolgozható fel az így kódolt információ. Bár megmutatható, hogy az ezen az elven alapuló kvantum-számítógépek egyetlen olyan feladatot sem képesek megoldani, amelyet egy klasszikus számítógép ne tudna, de döntő különbség mutatkozik egyes problémákra vonatkozó klasszikus és kvantumalgoritmusok hatékonysága között. Ismertek olyan feladatok, amelyekről az a közvélekedés, hogy nem oldhatók meg polinomiális idejű klasszikus algoritmussal (amelynél a futásidő a bemenő adatok méretének polinomiális függvénye), viszont létezik rájuk polinomiális kvantumalgoritmus, például Peter Shor faktorizációs algoritmusa, amely egy Njegyű számot N³ lépésben bont fel tényezőire. Egy másik híres példa a kvantuminformatikából Grover algoritmusa, amely egy N elemű adathalmazból kiválaszt egy általunk meghatározott feltételeknek eleget tevő elemet: Grover algoritmusa ezt N^1/2 idő alatt teszi meg, míg egy klasszikus algoritmusnak N nagyságrendű idő szükséges a feladat végrehajtására. Ezáltal a számítástechnikának egy új, hatalmas távlatokat nyújtó ága van kifejlődőben. Persze szépséghibája az elméletnek, hogy mind a mai napig nem sikerült fizikai valóságában megépíteni akár csak a legegyszerűbb kvantumszámítógépet, de komoly erőfeszítések történnek ez irányban a világ több pontján, és az (optimista) szakemberek véleménye szerint a kvantuminformatika 15-20 éven belül gyakorlati feladatok megoldására is alkalmassá válhat. A Neumann János által bevezetett entrópiafogalom meghatározó jelentőségű szerepet játszik eme új tudományágban.

A fenti rövid áttekintés természetesen csak igen szerény részét fedheti le Neumann János kvantumelméleti munkásságának, például nem esett benne szó a Neumann-algebrák elméletéről, sem a kvantumlogikáról: mindkettő Neumann azon irányú törekvéséhez kapcsolódik, hogy a kvantumelméletnek egy, a Hilbert-tér fogalmától független megalapozását nyújtsa. Mindkét megközelítésnek terjedelmes irodalma van, bár a Hilbert-téren alapuló megfogalmazás továbbra is meghatározó szerepet játszik mind a kvantumelmélet oktatásában, mind gyakorlati alkalmazásaiban. Kétség nem férhet hozzá, hogy Neumann János eme teljesítménye a jövő fizikáját (és általában a természettudományt) döntő módon meghatározza hosszú időre. A matematikai fizika eme huszadik századi, magyar származású óriásának centenáriumán csak remélhetjük, hogy az általa képviselt tudományág hamarosan visszanyeri méltó megbecsülését a magyar tudományos közéletben.