Négyszögletes kerék

Egy kerékpáros leszállt a járművéről, és a járdán guggolva az egyik kezével éppen csak annyira tartja azt, hogy el ne dőljön. A másik kezével a kerékpár egyik pedálját, amely éppen a legmélyebb helyzetében van, bizonyos nagyságú vízszintes erővel a hátsó kerék felé tolni kezdi.

• Elindul-e a kerékpár, s ha igen, merre: előre vagy hátrafelé?

• Azonos vagy ellentétes irányban forog a hajtókar és a hátsó kerékagy fogaskereke?

• A talajhoz képest milyen irányban mozdul el az alsó helyzetben lévő pedál?

K.F. Riley, Cambridge

Akár sikerül elméletben megoldanunk a feladatot, akár nem, érdemes ténylegesen kipróbálnunk, megfigyelnünk a jelenséget. A kerékpár hátrafelé indul el, ennek azonban nem elvi, hanem technikai okai vannak!

Első ránézésre - tévesen - azt gondolhatjuk, hogy a hátrafelé húzott kerékpár csakis arrafelé kezdhet el mozogni, amerre a pedáljára ható külső erő mutat, tehát hátrafele. Nem szabad megfeledkeznünk azonban a kerékpárra ható másik (vízszintes) külső erőről, a súrlódási erőről sem. A két erő eredője mutathat hátrafelé, irányulhat azonban előrefelé is, a kerékpár tehát elvben - bármelyik irányba elindulhat. Az, hogy ténylegesen melyiket teszi, a sebességváltó áttételétől függ.

A szokásos módon hajtott kerékpár- amelyik tehát előrefelé halad - alsó helyzetű pedálja a kerékpárhoz képest biztosan hátrafelé mozog, a talajhoz képest azonban (a kerékpár sebességváltójának áttételétől függően) akár előrefelé is haladhatna. (Ténylegesen nem ezt teszi, mert a szokásos kerékpároknak nincs olyan "lassú" áttételfokozata, amelynél a pedál a kerékpárhoz képest kevesebbet mozdulna cl, mint amennyit eközben a kerékpár mozdul a földhöz képest. Természetesen nincs elvi akadálya, hogy olyan speciális kerékpárt készítsünk, amelyik fordítva viselkedik. Ennek az lenne a feltétele, hogy a fogaskerekek N áttétele kisebb legyen a r/R aránynál, ahol r a hajtókar, R pedig a hátsó kerék sugara.

A szokásos kerékpárok alsó pedálja tehát a talajhoz képest ugyanolyan irányban mozdul el, mint a kerékpár egésze. (Ellenkező esetben nem mi végeznénk [pozitív] munkát, hanem a kerékpár, s örökmozgót készíthetnénk!) Az említett technikai okok miatt a szokásos kerékpár is ugyanabba az irányba mozdul el, mint az alsó pedál, tehát hátrafelé. A fogaskerekek forgásiránya természetesen nem lehet ellentétes.

A vizsgált jelenséghez hasonló a vízszintes asztalon csúszásmentesen gördülő cérnaspulni esete. Ha a spulniról részben letekert cérnaszálat vízszintesen húzzuk, a spulni (melynek az asztallal érintkező pereme nagyobb sugarú kör, mint a legfelső cérnamenetek sugara) arrafelé indul el, amerre húzzuk a szálat. Ha viszont a spulni gördülő tengelye vékonyabb, mint a spulni egésze, és az alsó helyzetben levő szálat mondjuk balra húzzuk, a spulni jobbra indul el!

Egy jégpályán R sugarú félkör mentén egyenletesen elosztva elhelyezünk n darab (n » 1) egyforma fekete jégkorongot, melyek össztömege M. A korongoknak az ábrán látható irányból (balról) nekilökünk egy m tömegű fehér korongot, amely a fekete korongokkal való rugalmas ütközések sorozata után eredeti mozgásirányával éppen ellentétesen (tehát balra) távozik.

a) Legfeljebb mekkora lehet a M / m tömegarány, hogy a leírt folyamat végbemehessen?

b) Eredeti sebességének hányad részére csökken a fehér korong sebessége az ütközéssorozat végére, ha a tömegarány éppen az előző kérdésben szereplő határeset?

(A súrlódást a jég és a korongok, valamint fehér és a fekete korongok között elhanyagolhatjuk. A korongok mérete a félkör sugarához képest kicsi, a korongok tömegpontoknak tekinthetők.)

Kunfalvi Rezső emlékverseny,
Budapest, 2003