Fizikai Szemle honlap

Tartalomjegyzék

Fizikai Szemle 2006/1. 26.o.

137. PROBLÉMA

Van egy négyzet alakú drótkeretünk, melyre vékony, hajlékony és nyújthatatlan cérnaszálból készített hurkot helyezünk. A zárt hurok hossza megegyezik a négyzet kerületével, és a hurok két átellenes (egymástól ugyanakkora hosszúságú cérnaszálakkal elválasztott) pontját a drótkeret valamelyik átlójának két végpontjához rögzítjük.

A drótkeretet egy másik (vele egy síkban fekvő, és pl. ugyancsak négyzet alakú) nagyobb drótkeretbe foglaljuk, és az egész elrendezést szappanoldatba mártjuk. A kialakuló hártyák közül a cérnaszálon belül levőket kipukkasztjuk, a cérnaszálon kívül, de a kisebb négyzeten belül levő hártyák felületi feszültségét pedig (valamilyen vegyszer hozzáadásával) az eredeti érték felére csökkentjük.

Milyen alakot vesz fel a cérnaszál egyensúlyi helyzetben? (Feltételezhetjük, hogy a cérna - a két rögzített pontját leszámítva - szabadon elcsúszhat a drótkereten.)

(G. P. )

A 137. PROBLÉMA MEGOLDÁSA

1. ábraJelöljük az 1. ábrán látható módon a kisebb négyzet területét t -vel, a nagyobb (befoglaló) négyzetét T-vel, a cérnaszál által körülfogott, de a kisebb négyzeten kívül eső teljes (4 darabból álló) területet T2-vel, a kis négyzeten is és a cérnaszálon is belül eső rész területét pedig T1-gyel!

Ha a cérnaszálon és a kis négyzeten kívül eső T - t - T2 nagyságú felületet felületi feszültségű hártyával borítjuk, a kis négyzeten belüli, de a cérnahurkon kívül eső t - T1 nagyságú felületet pedig felületi feszültségű hártyával, akkor a rendszer teljes (felületi) energiája:

Ez a kifejezés K és állandó volta miatt akkor a legkisebb, amikor

T1 + 2 T2

A szappanhártyás feladat megoldása tehát valóban egyenértékű a 136. problémában szereplő (a kis négyzeten kívül a benti négyzetméterárnál kétszer drágább telek) ároptimalizálási feladattal.1

2. ábra Az optimumfeladatot azzal a mellékfeltétellel kell megoldanunk, hogy a cérnaszál két pontban (az 1. ábrán A és B) rögzített, hossza pedig a négyzet kerületével egyezik meg. A vizsgálandó feladat az AB egyenesre szimmetrikus, elegendő tehát a "félmegoldással" foglalkozzunk. A kis négyzet oldalának hosszát egységnyinek választhatjuk (az eredeti problémában ez 25 m, a kerítés teljes hossza 100 m volt, ezeknek megfelelő megoldás arányos nagyítással kapható az "egységnégyzetből").

Tekintsük tehát a 2. ábrán látható elrendezést: mindkét végén rögzített (hajlékony és nyújthatatlan) cérnaszálat, amelyre az AP és QB görbeszakaszokon kívülről felületi feszültségű hártya feszül, a PQ ív mentén viszont csak a hártya felületi feszültsége. A cérnaszál hossza A és B között ugyanakkora, mint a négyzet fél kerülete, vagyis 2 egységnyi.

Vizsgáljuk most a problémát az erők egyensúlya szempontjából! A cérnaszálat mindenhol ugyanakkora (F) nagyságú erő feszíti; ellenkező esetben a szál valamely darabkája elmozdulna az érintője irányában. Másrészt a szál az érintőre merőlegesen sem mozdul el, ez pedig akkor teljesül, ha a felületi feszültségből származó (hosszegységenként , illetve nagyságú) erő egyensúlyt tart a szál görbültségéből adódó, hosszegységenként F · G nagyságú erővel. (G a szál görbülete, a simulókör görbületi sugarának reciproka.)

 

 

3. ábra

Az elmondottak alapján az energiaminimumot szolgáltató "optimális megoldásban" a cérnaszál görbülete szakaszonként állandó, tehát körívekből áll, de a felületi feszültségek (az eredeti feladatban a telekárak) különbözősége miatt az AP és QB körívek sugara fele akkora, mint a PQ körívé. A P és a Q pontokban - ugyancsak az erőegyensúly miatt - a körívek törésmentesen, folytonosan változó érintővel csatlakoznak egymáshoz, továbbá a három körív teljes hossza 2 egység kell legyen. Ezek a megszorítások már - elemi geometriai összefüggésekkel - meghatározzák a körívek sugarát és az ívek középponti szögeit.

 

 

 

 

A 3. ábra jelöléseit követve felírhatjuk, hogy

melyekből , valamint , azaz és adódik. A teljes megoldás vázlatos rajza a 4. ábrán látható.

4. ábra Megjegyzés: A megoldás során (a feladat szimmetriájára gondolva) hallgatólagosan feltettük, hogy a cérnaszál (illetve a 136. problémánál a kerítés) nemcsak az AB egyenesre, hanem annak felező merőlegesére is szimmetrikus, vagyis hogy a kerület összesen 6 körívből rakható össze. Ez egyáltalán nem nyilvánvaló! Ha egy szívószál két végére egy-egy szappanbuborékot illesztünk, a pontosan egyforma sugarú buborékok esete egyensúlyi állapotnak felel meg, azonban ez az állapot instabil, az összenergiának nem minimuma. A stabil egyensúlyi állapotban (energiaminimumban) az egyik buborék sugara nullává válik, s a gáz teljes mennyisége a másik buborékba kerül, tehát az elrendeződés aszimmetrikus lesz, jóllehet a probléma tükörszimmetrikus! Hasonló módon elképzelhető lenne, hogy a 3. ábrán látható szimmetrikus állapot egyensúlyi ugyan, de instabil, és a stabil egyensúly aszimmetrikus: a P és az A pont egybeesik, a teljes határgörbe pedig nem 6, hanem csak 4 körívből áll. Ténylegesen nem ez a helyzet, de a megnyugtató megoldásnak ezen lehetőség vizsgálata is részét képezi.

(G. P. )

138. PROBLÉMA

Egy tavon lebegő, álló vízibicikliről fejest ugrik a tóba egy gyerek. Melyik állítás igaz a vízibicikli és a gyerek vízszintes irányú lendületére az ugrás pillanatában?
  1. ) Vízibiciklinek és a gyereknek azonos lesz a lendülete.
  2. ) Egyenlo nagyságú, de ellentétes irányú lesz a lendületük.
  3. ) A gyereknek nagyobb, a vízibiciklinek ezzel ellentétes irányú és kisebb lesz a lendülete.
(A 2005. évi középszintű fizika érettségi egyik - hibásan értékelt - feladata.)

__________________________________

1 Az érdekes fizikai-közgazdasági ikerfeladványt - a problémát eredetileg megfogalmazó - V. Sedach (Seattle, USA) más geometriai feltétellel adta meg egy internetes versenyen. A Négyszögletes kerék hangulatához közelebb álló változatot Nagy Győző (Budapest) dolgozta ki.