Fizikai Szemle honlap

Tartalomjegyzék

Fizikai Szemle 2006/2. 61.o.

A RELATIVITÁSELMÉLET TANÍTÁSÁRÓL

Hraskó Péter
Pécsi Tudományegyetem
Elméleti Fizika Tanszék

Az utóbbi tíz évben sokat foglalkoztam a relativitáselmélet tanításával és népszerűsítésével, ezért az elméletet a korábbinál alaposabban át kellett gondolnom. Eközben több olyan fogalom revideálására is rákényszerültem, amelyekben azelőtt semmi kivetnivalót sem találtam. Közöttük van a mozgási tömeg, amely bekerült az emelt szintű érettségi tételei közé. Erről a fogalomról lesz szó az alábbiakban.

A speciális relativitáselmélet egyik váratlan következménye az, hogy minél nagyobb sebességgel mozog egy test, annál nehezebb tovább gyorsítani. Pontosan ez lenne a helyzet akkor, ha a testek tömege nőne a sebesség növelésekor. De a gondolatmenet, amellyel a relativitáselméletben eljutunk ehhez a következtetéshez, világosan mutatja, hogy a jelenség oka nem a tömeg megnövekedése, hanem az idodilatáció.

Képzeljünk el egy rakétát, amelyben automata adagoló biztosítja, hogy a hajtóműben minden másodpercben pontosan ugyanakkora legyen az üzemanyag-fogyasztás, és vizsgáljuk a rakéta mozgását a pályájának egy viszonylag rövid szakaszán, amelyen az üzemanyag elhasználódásából származó tömegcsökkenés elhanyagolható a rakéta össztömegéhez képest. A newtoni mechanika szerint ilyen körülmények között a rakéta konstans gyorsulással fog mozogni. A tolóerő ugyanis állandó, és az

képletnek megfelelően a sebesség időegységre eső növekedése is konstans:

A relativitáselmélet szerint azonban a külső megfigyelő számára a gyorsulás egyre kisebb és kisebb lesz, mert az adagoló berendezés az űrhajóbeli sajátidő ritmusában adagolja az üzemanyagot, és ez a sajátidő a

képletnek megfelelően annál lassabban telik, minél nagyobb az űrhajó sebessége. Kis sebességeknél a newtoni mechanika a relativitáselméletben is érvényes, ezért az űrhajóhoz képest az (1) képlet igaz marad, csak időn természetesen az űrhajóbeli sajátidőt kell érteni:

Ennek következtében az űrhajó gyorsulása önmagához képest továbbra is a konstans F/m-mel egyenlő. A földi megfigyelő által észlelt gyorsulást úgy kapjuk, hogy a (3) képletben a kifejezzük a földi időn keresztül:

amelyből

Ez a képlet valóban azt mutatja, hogy a sebesség növeke- désével a gyorsítás hatásossága csökken.

Az (5)-ben az idődilatációnak csak a gyorsulás okára (a gyorsító erő teljesítményére) kifejtett hatását vettük figyelembe. Nézzük most meg, mi lesz az idődilatáció hatása a sebességnövekedésre.

Jelöljük I '-vel azt az inerciarendszert, amelyhez képest a rakéta a t pillanatban éppen nyugszik. A rakéta azonban I '-höz képest is gyorsul, ezért a nyugalom állapota csak egy matematikai pillanatig tart, és a t időpillanatot követő rövid sajátidő-intervallumban a rakéta I '-hez viszonyítva megtesz valamekkora - mondjuk dl0 - utat. Ezalatt a rakéta sebessége I '-ben (vagyis "önmagához képest") valamilyen dv'-vel nő meg. Mekkora dv sebességnövekedésként fog ez megjelenni az I -beli megfigyelők számára?

Abban az I inerciarendszerben, amelyből a rakéta mozgását figyeljük, a dl0-nak a Lorentz-kontrakció szerint

távolság, a sajátidő-intervallumnak pedig

időintervallum felel meg. Logikus feltételezni, hogy dv ugyanúgy aránylik a dv'-höz, ahogy dl /dt aránylik a :

De a Lorentz-kontrakció és az idődilatáció előbbi képletei szerint ez az arány (1-v 2/c2)-tel egyenlő, ezért

A (3) képlet tehát további pontosításra szorul, a dv-t dv'-vel kell helyettesíteni benne:

Ha most itt dv'-t és -t kifejezzük a földi megfigyelők által észlelt dv-n és dt-n keresztül, az űrhajó gyorsulására az

képletet kapjuk.

Ezt a képletet - a könnyebb érthetőség kedvéért - a rakéta példáján vezettük le. A nagy sebességgel mozgó testek gyorsulását azonban töltött részecskék elektromágneses térben történő mozgásánál figyelték meg (Kaufmann-kísérlet, 1901-1902). Érvényes-e (8) ebben az esetben is?

A legegyszerűbb eset az, amikor a Q töltésű részecske a konstans E elektromos térrel párhuzamosan mozog. Ekkor F = QE. De ebben az esetben a (7) képletben egy újabb módosítást kell végrehajtani. Az elektromos (és a mágneses) tér komponensei ugyanis általában megváltoznak, amikor új inerciarendszerre térünk át, ezért (7)-ben F-et az I '-beli F' = QE'-vel kell helyettesíteni. Abban a speciális esetben azonban, amikor az inerciarendszerek relatív sebessége párhuzamos az elektromos térrel, az elektromos tér mindkét inerciarendszerben ugyanakkora: E' = E. Így F' = F, (7)-en semmit sem kell változtatni, és a töltött részecskék gyorsulását is (8) határozza meg1.

A (8) képlet korrekt, de az egyszerűsített gondolatmenet, amivel megkaptuk, tartalmaz egy olyan lépést, amelyet talán nem mindenki tartana meggyőzőnek (a (6) indoklására gondolok2). Az egyszerűsítés azonban olyan, hogy nem hamisítja meg, hanem inkább kiemeli a jelenség lényegét: Azért nehezebb a nagy sebességgel mozgó testet tovább gyorsítani, mert az idődilatáció egyre hatékonyabbá válik.

A gondolatmenetben az idődilatáción kívül a Lorentz-kontrakció is szerephez jutott, ezért a fenti indokláshoz a Lorentz-kontrakciót is hozzá lehet tenni. Magának a Lorentz-kontrakciónak a képletét azonban le lehet vezetni egyedül az idődilatációból (ld. a Függeléket), ezért úgy gondolom, hogy elég, ha csak az idődilatációra hivatkozunk.

Ismeretes, hogy a relativitáselméletben a v sebességgel mozgó test mozgási energiáját a

képlet határozza meg. Ha ezt összehasonlítjuk a newtoni fizika

képletével, láthatjuk, hogy a relativitáselmélet szerint a mozgási energia a sebesség növelésekor gyorsabban nő, mint a newtoni fizika szerint: Amikor v tart a fénysebességhez, a két mozgási energia aránya végtelenhez tart.

Ez a tény egyenes következménye annak, hogy a nagyobb sebességgel mozgó testet nehezebb gyorsítani. A mozgási energia ugyanis a gyorsító erő munkájának rovására növekszik (dK = Fdx), és egy adott sebességet nyilván hosszabb úton lehet csak elérni, ha a sebesség további növelése egyre nehezebbé válik.

Néhány alkalommal találkoztam olyan ellenvetéssel, hogy azért kell léteznie relativisztikus tömegnövekedésnek, mert a mozgó test nagyobb gravitációs hatást fejt ki, mint a nyugvó, és ha a tömeg mindkét esetben ugyanaz lenne, a gravitációs hatás se lehetne más.

Ez az ellenvetés azért hibás, mert a relativitáselmélet szerint (és itt már az általános relativitáselméletről van szó) a gravitációs hatás forrása nem a tömeg, hanem az energia (pontosabban az energia-impulzus-tenzor, de ehhez a legfontosabb járulékot az energia adja). A mozgó test gravitációs hatása tehát valóban nagyobb a nyugvóénál, de nem a tömeg, hanem az energia megnövekedése miatt.

Mindezek alapján az a javaslatom, hogy a "mozgási tömeg" és a "relativisztikus tömegnövekedés" kifejezéseket ne használjuk, mert hamis magyarázatot sugallnak arra, hogy miért nehezebb a testeket tovább gyorsítani, amikor már gyorsan mozognak. Ha ezt elfogadjuk, akkor persze a "nyugalmi tömeg" terminusra sincs szükség. A "nyugalmi energia" kifejezést azonban, amely a "belső energia" szinonimája, kifejezetten célszerű használni, mert explicite utal arra, hogy a belső energia a nyugvó test energiájával azonos.

A fotonok zérus tömegű objektumok, de nagyon gyakran ezt úgy értik, hogy csak a nyugalmi tömegük nulla, a mozgási tömegük h /c2-tel egyenlő. Arról, hogy ez milyen hibás következtetésekre vezet, korábban már részletesen írtam3, ezért az ottani érveimet most nem ismétlem meg.

A "mozgási tömeg" elnevezés az irodalomban nagyon elterjedt, de vannak figyelemre méltó kivételek. A Speciális és általános relativitás elmélete című könyvében Einstein nem használja ezt a kifejezést. A Landau-Lifsic sorozatban sem fordul elő, de hiánya a tíz kötetben sehol sem okoz problémát. W.G. Dixon kompromisszumos megoldást választott4: Az

mennyiséget "látszólagos tömegnek" (apparent mass) hívja, és m-re megtartja a nyugalmi tömeg nevet.

Hogyan került be a fizikába az az elképzelés, hogy a tömeg esetleg függhet a sebességtől? Az 1880-as évek elején J.J. Thomson kezdte el alkalmazni a Maxwell-egyenleteket az anyag tulajdonságainak a vizsgálatára. A kutatás, amelybe sokan bekapcsolódtak, egyik fontos következtetése az volt, hogy mozgó töltés elektromágneses terében annál nagyobb térenergia van felhalmozva, minél gyorsabban mozog a test, és ez arra vezet, hogy egy töltött testet annál nehezebb gyorsítani, minél nagyobb a sebessége. Hamar szokásossá vált ezt az eredményt úgy fogalmazni, hogy a töltött testek tömege nő a sebességgel.

A XIX. század utolsó éveiben J. Larmor és W. Wien mondta ki azt a hipotézist, hogy mivel az anyag elektromosan töltött alkotórészekből áll, a tömeg (az elektromosan semleges testek tömege is!) esetleg tisztán az elektromágneses térenergia hatásának a megnyilvánulása (a tömeg elektromágneses elmélete).

W. Kaufmann már említett kísérleteit ezek az elképzelések inspirálták. A kísérletek igazolták, hogy az elektronokat annál nehezebb gyorsítani, minél nagyobb a sebességük, és a már megszokott szóhasználattal ezt tömegnövekedésként fogták fel. A tömeg elektromágneses elméletéről azonban hamar kiderült, hogy nem tartható, mert az elektromágneses kölcsönhatás önmagában nem tud stabil anyagot létrehozni, a relativitáselmélet viszont természetes magyarázatot kínál Kaufmann eredményeire. Ez a magyarázat nem a tömegnövekedésen, hanem a Lorentz- transzformáció sajátosságain alapul. Ennek ellenére ma is sokan gondolják úgy, hogy a relativitáselmélet is tömegnövekedésre vezeti vissza azt, hogy a gyorsan mozgó elektronokat nehezebb tovább gyorsítani, mint a lassan mozgókat.

Függelék

1) A (6) levezetése a sebességösszeadás képletéből: Mozogjon az I' inerciarendszer V konstans sebességgel az I inerciarendszerhez képest mondjuk az x-tengely mentén. Figyeljünk meg mindkét inerciarendszerből egy ugyancsak x mentén (változó sebességgel) mozgó objektumot. Az objektum sebessége a két inerciarendszerhez képest természetesen nem lesz ugyanaz. Ha a pályájának egy adott pontjában az objektum I'-höz viszonyított sebessége v', akkor a relativisztikus sebességösszeadás törvénye szerint az I-hez viszonyított sebességét a

képlet határozza meg. Amikor a v' sebesség egy kis dv'-vel megváltozik, akkor a v megfelelő megváltozása (10) alapján a következő:

Gondolatmenetünkben a megfigyelt test a rakéta (vagy az elektron) volt, amely a t pillanatban éppen nyugodott I'-ben. Az I' V sebessége ekkor azonos a rakéta v sebességével, és v' = 0. Ebben a speciális esetben (11) valóban (6)-ra redukálódik.

2) A Lorentz-kontrakció képletének származtatása az idődilatációból:

Haladjon egy vonat nyílegyenes pályán konstans V sebességgel. A vonaton ülők a vonat hosszát a méterrúdjukkal megmérve l0-nak találják. A vonat töltéshez viszonyított hosszát a legegyszerűbben úgy lehet meghatározni, hogy egy stopperrel valaki a töltésen állva megméri, mennyi idő alatt halad el mellette a vonat. Ha erre időt kap, akkor a vonat hossza egyenlő. Az időt itt azért célszerű -val jelölni, mert ez annak a valakinek a sajátideje, aki a mérést végzi.

A vonatban ülők mindebből annyit látnak, hogy V sebességgel elsuhan mellettük egy ember stopperrel a kezében, és ideig tartózkodik a vonat mellett. Ha a vonaton ülők között van olyan, aki ismeri a relativitáselméletet, az azt is tudja, hogy a töltésen álló ember stopperjén eközben

idő telt el. Ez az a , amit a töltésen álló ember stopperje mutat, ezért a töltéshez képest a vonat hossza ennek az időnek a V-szerese:

3) Miért éppen az

mennyiséget szokás mozgási tömegnek (vagy akár látszólagos tömegnek) tekinteni? Azért, mert ez a kombináció szerepel az impulzus (lendület) relativisztikus képletében:

Ha azonban nem az impulzust, hanem a gyorsulást vennénk alapul, akkor (8) szerint nem ezt, hanem az

mennyiséget kellene mozgási (vagy látszólagos) tömegnek nevezni.

Ha a sebességnövekedéssel járó tömegnövekedés ugyanolyan reális folyamat volna, mint a belső energia növelésekor (például melegítéskor) bekövetkező tömegnövekedés, amelyet a képlet határoz meg, akkor nem választás kérdése lenne, hogy hogyan függ egy test tömege a sebességétől. A szabad választás lehetősége mutatja, hogy a mozgási tömeg csupán egy definíció, amely - mint minden definíció - nem igaz vagy hamis, hanem hasznos vagy haszontalan. Szerintem egyáltalán nem hasznos, mert félrevezető.

___________________________________________

1 Amikor a töltött részecske gyorsulása merőleges a sebességére, a 3/2 hatványkitevő 1/2-re módosul.
2 A (6) pontos levezetése a relativisztikus sebességösszeadás képletéből a Függelékben megtalálható.
3 Ekvivalens-e egymással a tömeg és az energia? - Fizikai Szemle 53 (2003) 330
4 Special Relativity - Cambridge University Press, (1978) 114. oldal