Fizikai Szemle honlap

Tartalomjegyzék

Fizikai Szemle 2008/4. 142.o.

AZ ELEKTROMÁGNESES ÉS AZ AKUSZTIKAI DOPPLEREFFEKTUS ELEMZÉSE GEOMETRIAI DIAGRAMOKKAL

Bokor Nándor
BME, Fizika Tanszék

A középiskolás diákok és az elsőéves egyetemi hallgatók, amikor a hullámtannal ismerkednek, gyakran találják zavarba ejtőnek az elektromágneses és az akusztikus Doppler-formulák közötti különbséget. Geometriai diagramoknak, valamint az "esemény" fogalmának felhasználásával egyszerűen rá lehet világítani a kétféle Doppler-effektus közötti matematikai különbségek fizikai okaira.

Egydimenziós elektromágneses Doppler-effektus

Tekintsük először az elektromágneses Doppler-effektust, egy térbeli dimenzióban. Az 1. ábra egy 2-dimenziós (x és t ) téridő-diagramot mutat arra az esetre, amikor a fényforrás (F) és a megfigyelő(M) távolodik egymástól az x -tengely mentén. A forrás és a megfigyelő mozgása is időszerű világvonallal írható le (azaz világvonaluk mindenütt a lokális fénykúp belsejében halad), ez megfelel annak a követelménynek, hogy vF és vM sebességük kisebb a fény c vákuumbeli sebességénél. Ezen a ponton kihangsúlyozandó az a tény, hogy inerciarendszerünk teljesen tetszőlegesen választható, mivel a fénysebesség bármelyik inerciarendszerben c, és csak a forrás és a megfigyelőegymáshoz képesti v sebessége számít. Ilyen módon, az egyszerűség kedvéért és az általánosságból semmit sem veszítve, választhatjuk a forrás nyugalmi rendszerét, vagyis vF = 0 és vM = v, amint az 1. ábra mutatja. Az ábra A(x,t) és B(x,t ) pontjai két egymás utáni kibocsátási eseményt (pl. egymás utáni fényimpulzusok vagy szomszédos hullámfrontok elindítását) jelképezik. A hozzájuk tartozó észlelési eseményeket az A*(x,t) és B*(x,t ) pontok ábrázolják. A kényelem kedvéért kalibráljuk a t- és x -tengelyeket olyan módon, hogy bármely fényimpulzus világvonala ±45° meredekségű egyenes vonal legyen (+45°, ha az impulzus jobbra, és -45°, ha balra halad). Ezt elérhetjük például úgy, ha az x -tengelyen az x = 1 métert választjuk egységnek, a t -tengelyen pedig a t = (1 méter)/ (3 · 108 méter/másodperc) = 3,33 · 10-9 másodpercet. Az ábrán tehát a +45° meredekségű szaggatott vonalak a forrástól a megfigyelőhöz haladó fényimpulzusok világvonalai.

1. ábra

Az A és B kibocsátási események téridőbeli koordinátáit felhasználva az A* és B* észlelési események között eltelt idő így írható (lásd 1. ábra):

(1) képlet

amiből

(2) képlet

ahol ΔtF az A és B kibocsátási események között eltelt időtartam, a nyugvó rendszerben (a forrás inerciarendszeréből) mérve. A ΔtA* B*és a ΔtM (az A* és B* események között eltelt, a megfigyelő rendszerében mért sajátidő) kapcsolatát az idődilatáció adja meg:

(3) képlet

A (2) és (3) egyenletek összevetéséből:

(4) képlet

Mindkét oldal reciprokát véve megkapjuk a megfigyelt és a kibocsátott frekvencia közötti kapcsolatot:

(5) képlet

Egy hasonló téridő-diagram segítségével azt is könnyű megmutatni (ez a diákoknak házifeladatként feladható), hogy ha a forrás a megfigyelő felé mozog, a (4) és (5) képletekben szereplőplusz és mínusz előjel felcserélődik. Az egydimenziós esetre az általános képlet tehát:

(6) képlet

ahol a felső előjelek az egymástól távolodó forrás és megfigyelő, míg az alsó előjelek az egymáshoz közeledő forrás és megfigyelőesetén érvényesek.

(Egyszerű házi feladatként az is feladható, hogy a diákok - hasonló téridő-diagramot használva - a megfigyelő nyugalmi rendszerében tárgyalva vezessék le a (6) képletet.)

2. ábra

Egydimenziós akusztikai Doppler-effektus

Ezután készítsünk a fentivel analóg téridő-diagramot az akusztikai Doppler-jelenségre. Mivel mind a forrás, mind a megfigyelőlassabban mozog a hang sebességénél (különben nincs Doppler-effektus), ebben az esetben a hang u sebessége az, ami a "természeti határsebesség". Amikor tehát az akusztikus téridő-diagramot készítjük, a t- és x-tengelyeket úgy kalibráljuk, hogy a ±45° meredekségű egyenesek a hangimpulzusok világvonalai legyenek. Ezt elérhetjük például úgy, ha az x-tengelyen az x = 1 métert választjuk egységnek, a t-tengelyen pedig a t = (1 méter) / (340 méter/másodperc) = 2,94 · 10-3 másodpercet (u = 340 méter/másodperces hangsebességet feltételezve). A Doppler-effektus feltétele, hogy mind a forrás, mind a megfigyelő világvonala mindenütt a lokális "hangkúp" belsejében haladjon. Ezen a ponton kihangsúlyozandó az a tény, hogy csak egyetlen olyan inerciarendszer van, amelyben a hangimpulzusok minden irányban ugyanazzal az u sebességgel haladnak - és amelyben ±45°-os világvonallal ábrázolhatók: ez az az inerciarendszer, amelyben a terjedési közeg nyugalomban van.

A 2. ábra egy akusztikai téridő-diagram arra az egydimenziós esetre, amikor a hangforrás és a megfigyelő távolodik egymástól az x-tengely mentén. A fentiekhez hasonlóan A(x,t) és B(x,t) két egymás utáni kibocsátási esemény (pl. két hangimpulzus vagy két egymást követő hullámfront elindítása), A* (x,t) és B* (x,t ) pedig a hozzájuk tartozó észlelési események. Mint az ábra mutatja, az A* és B* között eltelt idő:

(7) képlet

Átrendezve kapjuk:

(8) képlet

Mindkét oldal reciprokát véve kapjuk az akusztikai Doppler-effektus ismert képletét:

(9) képlet

Könnyű megmutatni, hogy közeledő forrás vagy közeledő megfigyelő esetén a (9) képletben szereplő megfelelő előjel ellenkezőjére változik. Az egydimenziós esetre az általános képlet tehát:

(10) képlet

ahol felső előjelek a távolodó forrás/megfigyelő esetében, az alsó előjelek a közeledő forrás/megfigyelő esetében érvényesek.

Az elektromágneses és az akusztikai Doppler-képletek levezetésének összehasonlítása

Ezen a ponton pedagógiai szempontból hasznos felkérni a diákokat, sorolják fel az alapvető különbségeket a kétféle levezetéshez használt téridő-diagramok és algebrai lépések között. Ez segíti őket összpontosítani az elektromágneses és az akusztikus hullámok, valamint a relativisztikus és a klasszikus kinematika közötti alapvető fizikai különbségekre. A felsorolandó különbségek a következők:

Inerciarendszer

Természetes határsebesség

Idődilatáció

  • Az elektromágneses esetben az A* és B* események között eltelt időtartam függ attól, melyik inerciarendszerben mérjük. Ez az időtartam a forrás vonatkoztatási rendszerében mérve ΔtA* B*, a megfigyelőében mérve pedig ΔtM. A két mért érték közötti kapcsolatot az idődilatáció (3) képlete adja meg.
  • Az akusztikai esetben a jelenségben szereplő összes sebesség (lényeges módon az u "határsebességet" is beleértve) sokkal kisebb a fénysebességnél: vF, vM, u << c. Az idődilatációs hatást tehát biztonsággal elhanyagolhatjuk; ugyanazokat az időtartamokat mérjük a közeg, a forrás és a megfigyelő vonatkoztatási rendszerében egyaránt. A (7) egyenletben ezt használtuk ki.

    Háromdimenziós elektromágneses Doppler-effektus

    Nem csak az egydimenziós, hanem az általános háromdimenziós mozgás esetére is konstruálható téridődiagram, amelyből az elektromágneses Doppler-képlet általános alakja könnyen levezethető. Mivel a forrásnak és a megfigyelőnek csak a relatív sebessége számít, bármelyiket tekinthetjük nyugvónak. Tegyük fel ismét, hogy a forrás van nyugalomban (helyesebben: írjuk le a jelenséget a forrás nyugalmi vonatkoztatási rendszerében). Tegyük fel továbbá, hogy a forrás és a megfigyelő elegendően nagy távolságra van egymástól, így a tárgyalt megfigyelési időtartam alatt párhuzamos fénysugarak érik a megfigyelőt. Ekkor, az általánosságból semmit sem veszítve, választhatjuk az x-tengelyt úgy, hogy egybeessen a megfigyelő mozgási irányával; és választhatjuk az y -tengelyt úgy, hogy a hullám terjedési irányát meghatározó k hullámszámvektor az (x,y) síkban feküdjön. Ilyen módon az általános 3 térbeli dimenziós eset 2 térbeli dimenzióra redukálható. A jelenség tehát teljes egészében leírható egy 3 (2 térbeli + 1 időbeli) dimenziós (x,y,t) téridő-diagrammal, az 1. ábra 2-dimenziós (x,t) téridő-diagramjának analógiájára. Az érdeklődőbb diákoknak házi feladatként feladható, hogy konstruálják meg papíron (axonometrikus nézetben) ezt a 3-dimenziós téridő-diagramot, és vezessék le belőle az elektromágneses Doppler-effektus általános képletét.

    3. ábra

    Itt azonban ismét meg kell jegyezni, hogy az akusztikai Doppler-effektusnál a forrás és a megfigyelő sebessége külön-külön veendő figyelembe. Teljesen általános esetben még az sem biztos, hogy - a hullámot szállító közeg nyugalmi rendszerében nézve - a forrás és a megfigyelő pályaegyenese egy síkba esik. A jelenség teljes téridőbeli leírásához tehát egy 4-dimenziós (x,y,z,t) diagramra lenne szükség. Téridő -diagram helyett ezért használjunk most egy egyszerű 3-dimenziós térbeli diagramot, amelyen a forrás és a megfigyelő (x,y,z) pályáját [nem pedig az (x,y,z,t ) világvonalukat] fogjuk ábrázolni. A grafikus megjelenítésből kimaradó időkoordinátát természetesen figyelembe vesszük az algebrai levezetésben. Mint kiderül, a térbeli diagram segítségével ismét tanulságos összehasonlítást végezhetünk az elektromágneses és az akusztikai eset között.

    A 3. ábra az elektromágneses Doppler-effektus térbeli diagramját mutatja, a forráshoz rögzített inerciarendszerben. Az A-val és B-vel jelölt két egymás utáni kibocsátási esemény ugyanazon a helyen (bár különbözőidő pontokban) zajlik, tehát ugyanaz a pont jelzi őket az ábrán. A hozzájuk tartozó két észlelési esemény A* és B*. Feltesszük, hogy az A* és B* közötti térbeli távolság elég kicsi a forrás és a megfigyelő közötti távolsághoz képest, vagyis a tekintett megfigyelési időtartam alatt a forrás iránya a megfigyelőhöz képest egyetlen Φ szöggel jellemezhető.

    Az ábrán szaggatott vonallal jelölt két fénysugár úthossz különbsége:

    (11) képlet

    A fenti zárójel első tagjában a (3) idődilatációs összefüggést alkalmaztuk, a második tagban pedig kihasználtuk, hogy inerciarendszerünkben a forrás nyugalomban van.

    Ugyanez a távolság úgy is kifejezhető, mint

    (12) képlet

    A (11) és (12) egyenletek jobb oldalát egyenlővé téve, és a kapott egyenletet ΔtM-re megoldva kapjuk:

    (13) képlet

    és reciprokát véve megkapjuk az elektromágneses Doppler-effektus képletének ismert általános alakját:

    (14) képlet

    Háromdimenziós akusztikai Doppler-effektus

    4. ábra

    A 4. ábra (a 3. ábrán bemutatott elektromágneses eset analógiájára) az általános, 3-dimenziós akusztikai Doppler- effektus térbeli diagramját ábrázolja. A hullámot szállító közeg inerciarendszerében a forrás és a megfigyelő pályája nem szükségképpen fekszik azonos síkban. Ez ellentétben áll az elektromágneses esettel, ahol vagy a forrásról, vagy a megfigyelőről feltehettük, hogy nyugszik (lásd az Inerciarendszer megjegyzést az 1-dimenziós tárgyalásnál). Feltesszük, hogy mind az A és B kibocsátási események közötti távolság, mind az A* és B* észlelési események közötti távolság elegendően kicsi a forrás és a megfigyelő közötti távolsághoz képest, azaz a ΦF és ΦM szögek nem változnak észrevehető mértékben a megfigyelési időtartam alatt. A két hangjel által megtett úthosszak különbsége:

    (15) képlet

    Bár Δ tA* B* és ΔtABis a hullámterjedési közeg inerciarendszerében mért időtartamok, mégis egyenlővé tehetők ΔtM-mel, illetve ΔtF-fel (amelyek a megfigyelő, illetve a forrás inerciarendszerében mért időtartamok), mert az idődilatáció szerepét itt el lehet hanyagolni (lásd az Idődilatáció megjegyzést az 1-dimenziós esetre).

    Ugyanez a távolság kifejezhető úgy is mint

    (16) képlet

    A (15) és (16) egyenletek jobb oldalát egyenlővé téve, és a kapott egyenletet ΔtM-re megoldva kapjuk:

    (17) képlet

    amelynek a reciprokát véve megkapjuk az akusztikai Doppler-effektus képletének általános alakját:

    (18) képlet

    Megjegyzés

    Az akusztikai Doppler-effektus általános esetének teljes grafikai megjelenítéséhez 4-dimenziós téridő-diagramra lenne szükség. Mivel ilyen diagramot nem tudunk a táblára rajzolni, kénytelenek vagyunk beérni egy 3-dimenziós térbeli diagram megrajzolásával (lásd 4. ábra), és lemondani az időkoordináta grafikus megjelenítéséről. Ez a szegényesebb geometriai megjelenítés is hasznos lehet pedagógiailag az elektromágneses és az akusztikus Doppler-képletek különbségeinek megértéséhez, de az ábrákról bizonyos lényeges vonások óhatatlanul hiányoznak. Amikor a diákok a két eset közötti különbségeket sorba veszik (Az elektromágneses és az akusztikai Doppler-képletek levezetésének összehasonlítása pontban az 1-dimenziós esetre felírt lista analógiájára), nincs például semmi vizuális támpont, ami a Természetes határsebesség megjegyzésre (és a hozzá tartozó diszkusszióra a lökéshullámokról és az információ eljutásáról a megfigyelőhöz) utalna az ábrákból. Elképzelhető, hogy a "kevesebb többet ér": ha csak az 1-dimenziós eset tárgyalására szorítkozunk, a diákok általánosabb következtetések levonására lesznek képesek.

    Irodalom

    E.F. Taylor, J.A. Wheeler: Téridőfizika. Typotex, Budapest, 2006. www.mathpages.com/rr/