Fizikai Szemle honlap

Tartalomjegyzék

Fizikai Szemle 2008/6. 229.o.

A MESEBELI ÉGIG ÉRŐ PASZULY:
AZ ŰRKÁBELEN SUHANÓ ŰRLIFT

Horváth Gábor
ELTE, Biológiai Fizika Tanszék

Az űrlift futurista víziója

A csillagászokat és űrkutatókat állandóan foglalkoztató kérdés, hogy miként lehetne még könnyebben és olcsóbban eljutni a világűrbe. A rakéták űrkutatásbeli alkalmazását az elsők között Konsztantyin Eduardovics Ciolkovszkij (1857-1935) orosz fizikus szorgalmazta. Ő vetette föl 1895-ben először egy „égi kastély”, mai szóhasználattal egy űrállomás megépítését, amit egy magas földi toronyhoz kapcsoltak volna egy erős kábellel (1.a ábra). Eme „űrkábelen” egy „űrlift” szállította volna az embereket, űreszközöket és alapanyagokat a Föld és a magasban lebegő űrállomás között (1.b ábra). Az űrlift első korszerű elképzelése 1960-ból Jurij Arsutanov leningrádi mérnöktől származik, amely ötlet azonban visszhang nélkül maradt. Az űrfölvonó ötlete a 20. századi tudományos-fantasztikus irodalomban is föl-fölbukkant, mint például Arthur Charles Clarke (1917-2008) angol író és mérnök Az éden szökőkútjai (The Fountains of Paradise, 1979; magyarul, Budapest: 1993) és a 3001 - Végső űrodüsszea (3001 - The Final Odyssey, 1997; magyarul, Budapest: 1999) című regényeiben. Az utóbbi könyv történetében az emberek jelentős része a Föld köré épült, összefüggő geostacionárius gyűrűben él, amit több ponton űrkábelek kötnek össze a Föld különböző pontjaival.

Az űrlift tervezésével régóta foglalkoznak már a csillagászok, űrkutatók és űrmérnökök [1-4], mivel egy ilyen űrfölvonó megépítése akár 10 000-ed részére is csökkenthetné a világűrbe jutás költségeit. A kábelt a Földön egy közel 50 km-es toronyhoz kötnék, valahol az Egyenlítő mentén. Így a kábel alsó része mindig éppen a geostacionárius pályán keringő tömegközéppont alatt maradna, másrészt pedig az egyenlítői elhelyezés azért is előnyös, mert a hurrikánok és erős széllökések, amelyek egy ilyen magas torony alsóbb szintjeit veszélyeztethetnék, elkerülik. Fölül a kábel a geostacionárius pályán túl keringő, jókora ellensúlyhoz lenne rögzítve (1.b ábra). Így a kábel megfeszülne a Föld forgása miatti centrifugális erő következtében. A kifeszülő űrkábelen „vágányok” lennének, amelyeken járművek szállítanák az utasokat, a víz-, élelem-, illetve energiautánpótlást. A fölfelé vezető úton megállókat lehetne elhelyezni, ahonnan pályára állíthatók lennének a különböző űreszközök.

1. ábra

Az angolul skyhooknak, azaz égi kampónak, horognak, kapocsnak is nevezett űrlift-űrkábel két alapvető részből áll: a fölvonófülkéből és a Föld Egyenlítője fölött közel 36 000 km magasságban húzódó geostacionárius körpályán túlnyúló kábelből. Az űrlift megvalósításával elkezdődhetne az ég kolonizációja, gyárak és telepek létesülhetnének a fejünk fölött, több tízezer kilométer magasban.

Mindez elsőre komolytalanul hangzik, hiszen egy több mint 36 000 km hosszú kábel előállításához még akkor is rengeteg anyag kell, ha az csak néhány cm vastagságú, és nem is készülhet akármiből. A kábelnek mindenekelőtt el kell bírnia a saját súlyát. Például egy állandó keresztmetszetű acélkötelet csak akkor lógathatnánk le a magasból anélkül, hogy saját súlya elszakítaná, ha a hosszúsága nem lenne nagyobb, mint h = 20 km [4]. Ahhoz, hogy egy 1 g/cm3 sűrűségű kötelet lelógathassunk 36 000 km magasból, az anyag T* szakítószilárdságának 6,25 · 1010 Pa nagyságúnak kellene lennie, ami közel százszorosa az acélénak [4]. Az űrkábel tömegét csökkenthetjük, ha a vastagságát a magasság függvényében optimalizáljuk. A Földtől fölfelé ugyanis egyre nőnek az anyagban föllépő húzófeszültségek, egészen a geostacionárius pályáig, ahol az űrkábel vastagságának maximálisnak kell lennie. Az űrlift optimalizált alakú kábele tehát a geostacionárius pályán „kihasasodó” (maximális), a Földhöz rögzített végén pedig minimális átmérőjű. Ha acélból építkeznénk, akkor a kábel maximális átmérőjének több milliószor nagyobbnak kellene lennie, mint a Föld felszínén. Az ilyen kábel méretei már összemérhetőek lennének a Föld nagyobb hegyláncaival. Gyémánt alkalmazásával a kábel maximális és minimális vastagságának Q aránya csak 21,9 lenne, viszont a gyémánt nagyon törékeny és drága. A zylon nevű polimerszál esetében Q = 710, a szén nanocsőből készült kábel viszont alig hasasodna ki, mert Q = 1,7 [4].

Az űrlift-űrkábel megtervezéséhez a nanotechnológia vihet közelebb [4]. 1991-ben fedezték föl a fullerén molekula előállításakor keletkező mellékterméket, a szén nanocsöveket. E nanoméretű, lyukas hengerek tulajdonképpen föltekeredett szénatomhálókból állnak. A szénnek ez a módosulata rendkívüli elektromos és mechanikai tulajdonságokkal bír. Az űrlift szempontjából az a leglényegesebb, hogy a szén nanocsövek szakítószilárdsága meghaladja a gyémántét is, nagyságát T* = 1,3 · 1011 Pa-ra becsülik. Ahhoz azonban, hogy a nanocsöveket az űrkábel létrehozásához szükséges nagyon erős kompozitanyag előállításához lehessen fölhasználni, legalább néhány mm-re kellene növeszteni a hosszukat. Nagy erőfeszítéseket tesznek a hosszabb szén nanocsövek előállítása érdekében. A szén nanocsövekből előállítandó, 36 000 km-nél hosszabb űrkábel nagy kihívás a tudomány számára.

A mesebeli égig érő paszuly

Szinte minden nemzet mese- és mondavilágában előfordulnak égig érő növények, amelyeken fölmászva a mese/mondahősök különféle csodákkal teli égi világba juthatnak. A magyar kultúrkörben e témában megemlíthető például Benedek Elek (1859-1929) Az égig érő fa című meséje, Jankovics Marcell (1941-) rajzfilmrendező Az égig érő paszuly című mesefilmje, vagy Janikovszky Éva (1926-2003) Az égig érő fű című, 1979-ben forgatott ifjúsági filmje. Az égig érő növény egy olyan meseelem, amely többnyire kezdő motívum, ritkábban keretmese [5, 6]. Habár ilyen égig érő növények a valóságban nincsenek, ha léteznének, akkor a biomechanikájuk nagyon hasonló lenne az űrkábel mechanikájához.

A geostacionárius keringési pálya

Amikor a Föld egyenlítőjének síkjában a gravitációs és a centrifugális gyorsulás egyenlő, akkor egy oda helyezett tömeg egyensúlyban van. Ez a Föld középpontjától mért

képlet

sugarú körpálya esetén teljesül, ahol γ = 6,673 ·  10-11 m3s-2kg-1 a gravitációs állandó, ω = 7,2722 · 10-5 s-1 a Föld forgásának szögsebessége és MF =  5,974 · 1024 kg a Föld tömege. Az Egyenlítő fölötti, rGS sugarú kör neve geostacionárius pálya. Az e körpályán mozgó műhold Föld körüli keringési ideje megegyezik a Föld tengely körüli forgásának periódusával, azaz pontosan 1 nappal. Emiatt a műhold a Földről távcsővel nézve az Egyenlítő egy adott pontja fölött állni látszik. Mivel a Föld átlagos sugara RF = 6,371 · 106 m, ezért a geostacionárius pálya az Egyenlítő fölött H = rGS-RF = 35 872  km ≈ 36 000 km magasságban húzódik.

A minimális tömegű terheletlen űrkábel és az égig érő paszuly alakja

Milyen alakúnak kell lennie a földi Egyenlítőhöz rögzített, azzal együtt forgó terheletlen űrkábelnek, amely ellensúly nélkül, csak a centrifugális erőnek köszönhetően feszül ki? Ez nyilván csak akkor valósulhat meg, ha a függőlegesen, azaz a Föld felületére merőlegesen álló, alsó, földhöz rögzített végénél A keresztmetszetű és T* szakítószilárdságú kábelre ható, a Föld középpontjába mutató Fgr gravitációs erő és a kábel alsó végénél ébredő, lefelé irányuló húzóerő maximumának Fmax = AT* összege megegyezik a Föld tengely körüli forgásából származó, sugár irányban kifelé mutató Fcf centrifugális erővel: Fgr+Fmax = Fcf. Ha Fgr > Fcf, akkor a kábel a Föld vonzása miatt lehullik, ha viszont Fgr+Fmax  < Fcf, akkor a kábel az alsó, rögzített végénél elszakadva a centrifugális erő miatt kirepül az űrbe.

Hasonló probléma merül föl egy mesebeli égig érő növénynél is: a növény csak akkor létezhetne, ha olyan lenne a szárának alakja, hogy a Föld rá ható gravitációs erejének és a gyökere által kifejtett, lefelé irányuló maximális húzóerőnek az összegét kiegyensúlyozná a növényen ébredő, fölfelé mutató centrifugális erő. Ekkor a növény szára nem roskadna össze a saját súlya alatt, de a centrifugális erő sem tépné ki a földből gyökerestül.

2. ábra

Tekintsük a Földhöz rögzített terheletlen űrkábel (vagy égig érő paszuly) 2. ábra szerinti mechanikai modelljét. Vegyük a homogén ρ sűrűségű, forgásszimmetrikus kábelnek az RF sugarú és MF tömegű Föld középpontjától r távolságra lévő elemi dr vastagságú rétegét. E réteg r távolságra lévő alsó körlapjának sugara legyen x(r), míg a fölső körlapjáé x+dx. A rétegre hat a Föld középpontjába, lefelé mutató elemi dFgr gravitációs erő, a Föld középpontjától sugárirányban kifelé, fölfelé irányuló elemi dFcf centrifugális erő, valamint az alsó, illetve fölső körlapján ébredő lefelé, illetve fölfelé mutató K, illetve K+dK felületi húzóerő, amit a kábel réteg alatti, illetve fölötti része fejt ki. A kábel vizsgált elemi rétege akkor van egyensúlyban, ha e négy erő eredője nulla:

képlet

Ha a kábel 2x(r) vastagságát a tömege minimalizálása céljából az elszakadás határáig csökkentjük, akkor a bármely keresztmetszetén ébredő mechanikai feszültség megegyezik a T* szakítószilárdsággal. Foglalkozzunk azzal a speciális, matematikailag könnyebben kezelhető esettel, amikor az űrkábel mentén végig azonos T mechanikai feszültség ébred, vagyis amikor T független a Föld középpontjától mért r sugártól. Ekkor a kábel elemi dr vastagságú rétegének alsó körlapján

K = Tx2 π       (3)

húzóerő ébred. (3)-at x szerint deriválva megkapjuk K elemi dK megváltozását a kábel x sugarának elemi dx megváltozásakor:

dK = 2 T π x dx       (4)

Az elemi kábeldarabra ható centrifugális és gravitációs erők:

képlet

(2-6) fölhasználásával, rendezés után kapjuk a

képlet

elsőrendű, szeparábilis differenciálegyenletet. Ezt integrálva, az x (r=RF) = x0 peremfeltétel alkalmazásával megkapjuk a bármely keresztmetszetén T < T* mechanikai feszültségű terheletlen űrkábel x (r) sugarát a Föld közepétől számított r távolság függvényében:

képlet

(8)-ból látható, hogy x(r=∞) = 0. Az űrkábel x(r) sugarának azon r* távolságban van maximuma, ahol az r szerinti első deriváltja zérus. Innen azt kapjuk, hogy

képlet

Arra az eredményre jutottunk tehát, hogy a homogénen feszített (T = állandó) terheletlen űrkábel (égig érő paszuly) átmérője a Föld felszínétől fölfelé haladva

3. ábra

a geostacionárius pályáig (r < rGS ) egyre nő, onnantól (r > rGS) pedig fokozatosan csökken, tehát a kábel a geostacionárius pályán a legvastagabb. (8) és (9) alapján megkapjuk a kábel „kihasasodásának” mértékét, vagyis a geostacionárius távolságbeli xmax legnagyobb sugarának és a földfelszíni x0 sugarának Q = xmax/x0 =  x(rGS)/x0 arányát:

képlet

ahol B = 2,6337 · 108 m2/s2. (10)-ből kifejezhetjük azt a T(Q ρ) állandó mechanikai feszültséget, ami az űrkábel mentén ébred adott Q kihasasodás és ρ sűrűség mellett:

képlet

Látható (11)-ből, hogy T(Q,ρ) egyenesen arányos a ρ sűrűséggel, és fordítva arányos a Q kihasasodás természetes alapú logaritmusával, az arányossági tényező pedig a Föld RF sugarától, MF tömegétől és ω forgási szögsebességétől függ. Vizsgáljuk meg ezek után, hogy miként viselkedik a homogén T mechanikai feszültségű terheletlen űrkábel (8) szerinti alakja T változásakor. Mivel dr > 0, ezért (7) alapján a kábel x(r) sugara elemi dx megváltozásának előjelére a következő igaz: ha r < rGS, akkor dx > 0; ha pedig r > rGS, akkor dx < 0. Innen pedig az következik, hogy ha T csökken, akkor |dx| nő. Mindennek az a végkövetkezménye, hogy T csökkenésével Q és x(r) nő. A 3. ábra vázlatosan szemlélteti a terheletlen űrkábel (illetve a mesebeli égig érő paszuly szárának) alakját T függvényében. Ha az állandónak föltételezett T feszültséget növeljük, akkor az űrkábel egyre karcsúbb, azaz egyre anyagtakarékosabb lesz. T nem haladhatja meg a T* szakítószilárdságot, különben elszakadna a kábel. A 3. ábrán szürkével jelölt alak a kábel alakjának szélsőértéke, mikor T = T*: ennél vékonyabb, anyagtakarékosabb, kisebb tömegű kábel elszakadás nélkül nem képzelhető el.

Az ellensúllyal kifeszített terheletlen űrkábel

Az űrkábel végtelen hosszát úgy rövidíthetjük, hogy a geostacionárius pályán túl, attól L távolságban elvágjuk és például egy gömb alakú, R sugarú, m tömegű homogén ellensúlyhoz rögzítjük az x(rGS+L) sugarú fölső végét (4. ábra). Az ellensúly kábelre kifejtett gravitációs vonzóerejét elhanyagoljuk. A terheletlen űrkábel egyensúlyban tartásához ezen fölső végénél x(rGS+L )2πT nagyságú, sugár irányban kifelé mutató húzóerő szükséges, amit az ellensúlyra ható centrifugális és gravitációs erők különbsége biztosít:

képlet

Innen az rGS+L hosszúságú terheletlen űrkábel kifeszítéséhez szükséges ellensúly tömege:

képlet

Mivel limL →+∞ x(rGS+L) = 0, ezért (13)-ból adódik: limL→-R m(L) = ∞, és limL→+∞ m(L) = 0. (13) szerinti m(L) függvényt szemlélteti vázlatosan. A terheletlen űrkábel kifeszítéséhez szükséges m tömeg nullához tart, amint a kábel geostacionárius pályán túlnyúló L hossza a végtelenhez közelít, továbbá m végtelenhez tart, amint L megközelíti -R-et.

4. ábra 5. ábra

Az űrkábel és az égig érő paszuly terhelhetősége

6. ábra 7. ábra

Az űrkábel fő rendeltetése a magasba történő teherszállítás, mint ahogy a mesebeli égig érő paszulyra is fölmászik a mesehős. Határozzuk meg ezért, hogy adott x(r,T < T*) alakú, terheletlenül homogénen feszülő űrkábel a Föld közepétől r távolságban mekkora m tömeggel terhelhető, ha e tömeg a gyorsulással mozog a 6. ábra szerinti módon. Mivel a kábel addig terhelhető, amíg az x(r,T)2π nagyságú keresztmetszetén ébredő T mechanikai feszültség nem haladja meg a T* szakítószilárdságot, ezért az r helyen a kábelre maximum Fmax = (T * -T)πx(r,T)2 többleterő hathat. A kábel addig nem szakad el, amíg az a gyorsulással mozgó m tömegre ható Fgr = γ mMF  /r2 gravitációs erő, az m a tehetetlenségi erő és az Fcf  =   m rω2 centrifugális erők (6. ábra) különbségének abszolút értéke kisebb, mint Fmax:

képlet

Innen kapjuk:

képlet

ahol x(r,T) kifejezését (8) adja. A (15) szerinti m*(r) tömeg változását r függvényében a 7. ábra mutatja.
Látható, hogy limr→rGS m*(r) = +∞, és mivel m*(r) az RF ≤ r ≤ rGS tartományban monoton nő, ezért ott m* minimuma:

képlet

mert x(r=RF) = x0. Az űrkábel tehát a Föld felszínén terhelhető a legkisebb m*min tömeggel, és mivel a centrifugális erő fölfelé nő, míg a gravitációs erő csökken, ezért egyre följebb fokozatosan nagyobb tömeggel lehet terhelni a 7. ábra szerinti módon. A geostacionárius pályán a teher akármekkora lehetne, hiszen ott súlytalansági állapot uralkodik a Földdel együtt forgó koordinátarendszerben. Ha tehát a Földről akarunk egy terhet az űrkábelen szállítani a geostacionárius pályán keringő űrállomásra, s a teher a kábelen való közlekedése során legföljebb a gyorsulással mozoghat (gyorsulhat: a >  0 vagy fékeződhet: a <  0), akkor a teher tömege nem lehet nagyobb, mint a (16) szerinti m*min Innen adódik:

képlet

(17) ad lehetőséget a terhelhető űrkábel tervezésére: ha ismerjük, hogy mekkora m tömegű terhet szeretnénk az űrkábelen a geostacionárius pályára fölvontatni, s tudjuk, hogy közben a teher legföljebb mekkora a gyorsulással mozoghat, akkor (17)-ből T, illetve x0 ismeretében x0, illetve T értéke kiszámítható, aminek fölhasználásával megkapható az m tömeggel terhelhető űrkábel (8) szerinti x(r) alakja.

Irodalom

  1. J. D. Isaacs, A. C. Vine, H. Bradner, G. E. Bachus: Satellite elongation into a true „sky-hook”. Science 151 (1966) 682-683.
  2. V. Lvov: Sky-hook: old idea. Science 158 (1967) 946-947.
  3. K. E. Ebisch: Skyhook: another space construction project. American Journal of Physics 50 (1982) 467-469.
  4. Babcsán N., Somogyvári B.: Anyagtudománnyal átívelt távolságok. Természet Világa 136 (2006) 348-350.
  5. Berze-Nagy J.: Égigérő fa. in Magyar mitológiai tanulmányok. Pécs, 1958.
  6. Diószegi V.: A honfoglaló magyarság hitvilágának történeti rétegei - A világfa. in Népi Kultúra - Népi Társadalom. Budapest, 1969.