Fizikai Szemle honlap

Tartalomjegyzék

Fizikai Szemle 2008/9. 281.o.

ENTRÓPIA, PLANCK, UNIVERZUM

Patkós András
ELTE, Atomfizika Tanszék

A Planck-törvény termodinamikai háttere

A termodinamika kivételes fizikai elmélet. Célkitűzése a makroszkopikus testek energiacserével járó folyamatainak jellemzése. Eredetileg ezt a célt a belső szerkezetre, a mikroszkopikus szabadsági fokokra történő bármiféle utalás nélkül kívánja elérni. Ennek köszönhető eredményei alkalmazhatóságának széles tartománya, univerzalitása. Sok esetben meglepően erős megszorítást jelentő következtetések nyerhetők módszereivel a mikroszkopikus szerkezetre is.

Alapegyenlete valamely egyszerű mechanikai rendszer és környezete között kvázisztatikusan zajló energiacserélő folyamatok során az egyszerű rendszerben bekövetkező állapotváltozást korlátozó összefüggést fogalmazza meg:

T dS = dE + p dV.

Itt T a test hőmérséklete, p a nyomása, dE a rendszer belső energiájának, dV a térfogatának infinitezimális megváltozása. A mechanikai munkavégzés és a belső energiaváltozás eredőjeként adódó infinitezimális hőcserét az entrópia dS megváltozása kontrollálja.

Az entrópia ezen bevezetése Rudolf Clausius műve. Az első lépést megtevő S. Carnot és Clausius (1. kép ) nyomán a fizikusok a hőerőgépek hatásfoka növelésének feladatára koncentráltak, és az entrópiát elsősorban a munkává alakítható energiában bekövetkező veszteség szempontjából vizsgálták. Clausius mondta ki a mechanika törvényeire vissza nem vezethető állítást, miszerint zárt rendszerben az entrópia egyetlen természeti folyamatban sem csökkenhet:

dS ≥ 0.

A kvázisztatikus hőcsere egyenletének integrálásával meghatározható egy folyamatfüggetlen, valamint a mechanikai és elektromágneses állapothatározóktól is független makroszkopikus állapothatározó, az entrópia:

S = S (E,V) +  S0.

Ennek integrációs állandóját a harmadik főtétel nullára rögzíti az abszolút hőmérsékleti skála nullapontjában.

1.kép

A termodinamika a nem-redukcionista (azaz a jelenségeket kisebb alkotórészek közötti folyamatokra visszavezetni nem kívánó) fizika nagyszerű teljesítménye. A redukcionista megközelítéstől való tartózkodás az az erény, amely egyéb, összetett nem-fizikai rendszerek (gazdaság, társadalmi szervezet stb.) kutatóit arra ösztönözte, hogy saját területükön analóg leírást keressenek, egyszerű szabadsági fokokat azonosítsanak, és egyenlőtlenség-alakú, változási irányt jelző összefüggésre jussanak. Megemlíthető Nicholas Georgescu- Roegen (2. kép ), aki 1971-ben publikálta Az entrópiatörvény és a gazdasági folyamat című könyvét. Ez a könyv nagy hatással volt az ökológiai gazdaságtan irányzatának létrejöttére, amely a természeti és emberi erőforrásokkal létrehozható gazdasági értéket az erőforrások állapotának reprodukálása mellett kívánja optimalizálni.

2.kép. Nicholas Georgescu-Roegen és 1971-es könyvének címlapja

A termodinamikusok mindmáig élénk vitája a termodinamika második főtételéhez vezető axiómák pontos megfogalmazását, a törvény alá vetett folyamatok egyértelmű körülhatárolását célozza. Ebben a tisztázó folyamatban Max Planck is aktívan részt vett, többek között 1897-ben kiadott tankönyvével, valamint a termodinamika harmadik tételének és az abszolút hőmérséklet fogalmának elfogadtatásáért tett erőfeszítéseivel. Érdemes felfigyelni arra, hogy még élete végén írott tudományos életrajzában [1] is hangsúlyozza, hogy milyen nehézségbe ütközött a Carnot-ciklus levezetésére használt, a kalorikumelméletet tükröző eredeti vízimalom-hasonlatnak (3. kép ) kiszorítása a fizikusok gondolkodásából.

A termodinamika redukcionista megközelítése a Ludwig Boltzmann által javasolt statisztikus mechanikai megalapozással jelentkezett, amelynek lényegét éppen Planck öntötte tömör, és a mechanikai rendszerekről továbblépő általánosítást lehetővé tevő formába:

SN = kB ln WN,

ahol kB = 1,38 · 10-23 J/K. A kulcskérdés a WN mennyiség meghatározásának, azaz egy rendszer valamely rögzített belső energiájú makroállapotát megvalósító mikroállapotok leszámolásának mozzanata. Ez a lépés két kritikus kérdést hordoz magában. Az első: az adott állapot szempontjából alapvetőnek tekinthető alkotórészek (szabadsági fokok) azonosítása. A második: a szabadsági fokok diszkretizálása, ami leszámlálhatóságuk előfeltétele.

A termodinamikus Planck sokáig kritikusan vélekedett a mechanika időtükrözésre szimmetrikus törvényeit a valószínűségi megközelítéssel ötvöző statisztikus mechanikai irányzat és a termodinamika összekapcsolhatóságáról. Szerepet játszott a molekuláris rendezetlenség kiegészítő fogalmának kialakításában, amely a mechanika törvényein túllépő feltétel a folyamatok időirányának meghatározottságára vezető H-tétel alkalmazhatóságára. Tudományos felfogásában ezért igazi személyes fordulatnak tűnik, hogy az elektromágneses térrel termikus egyensúlyban lévő abszolút fekete test sugárzási spektrumának értelmezéséhez a Boltzmann-féle valószínűségi entrópiafogalomra épülő elméletet dolgozott ki.

Ebben a jelenségben is, mint a termodinamika egész konstrukciójában, valószínűleg az univerzalitás ragadta meg. Ma ezt úgy fogalmazhatjuk, hogy a hőmérsékleti sugárzás spektruma független attól, hogy a laboratóriumban gondosan hőszigetelt, tükröző falú tartály belsejében elhelyezkedő szénszemcse sugárzása, vagy a Világegyetem egészét kitöltő elektromágneses állóhullámok valósítják-e meg.

3.kép

E felismerés alapján Planck a végeredmény szempontjából közömbös modellrendszert választott: egyetlen, elektromosan töltött harmonikus oszcillátor kölcsönhatását vizsgálta az abszolút fekete testet megvalósító üregrezonátor elektromágneses állóhullámaival. Termodinamikusként eltért kortársai megközelítésétől, amely közvetlenül az üreg/oszcillátor kis frekvenciatartománybeli energiasűrűségének meghatározására irányult. Tudván, hogy az entrópia a rögzített térfogatú rendszerben az energiának egyértelmű függvénye, N darab frekvenciájú oszcillátor halmazára érvényes entrópia-energia összefüggés megalkotását tűzte ki céljául. Boltzmann fenti képletét használta kiindulásul. A feladat N oszcillátor NE összenergiájú makroállapotához tartozó mikroszkopikus állapotok WN számának meghatározása volt. Erre irányuló próbálkozásai során, a leszámlálhatóság biztosítására folyamodott az energiakvantálás „kétségbeesett” feltevéséhez:

N E = Pε

. Itt ε a kvantált energiacsomag nagysága, P pedig a teljes energia csomagokba osztásával adódó csomagszám. Nagyon nagyszámú oszcillátorhoz nagyon nagy P érték kell. Ebben a határesetben Stirling képlete segítségével értékelte ki WN kombinatorikai képletét, amellyel eljutott az egyetlen oszcillátor entrópiájának képletéhez:

képlet

. Miután a termodinamikában az entrópiának a belső energia szerinti parciális deriváltja adja a T hőmérséklet reciprokát, a fenti képletből adódik

képlet

. Ebből azután kifejezhető az oszcillátor E belső energiája T hőmérsékleten, amit az oszcillátorok állapotsűrűségével megszorozva Planck megkapta a róla elnevezett sugárzási törvényt. (Hallgatólagosan persze feltette, hogy termikus egyensúlyban az oszcillátorral képviselt abszolút fekete test és az azt övező sugárzás energiája a spektrum minden vonalára egyezik.) A kapott összefüggésnek a Wien-törvénnyel való összevetése is szükséges még, ami végül megköveteli az energiakvantumra az

ε = h

arányosságot.

Közismert, hogy Planck jelentős, de hiábavaló erőfeszítést tett az energiakvantálási feltételtől való megszabadulásra. Ez a törekvés érthető, hiszen a fentiek szerint ő pusztán a szabadsági fokok (a mikroállapotok) megszámlálhatósága érdekében diszkretizálta az oszcillátorhalmaz energiáját. Einstein és követői a legkülönfélébb anyagi rendszerek elemi oszcillátorként viselkedő szabadsági fokaira alkalmazták a kvantálás eljárását. A szilárd testek fajhőjétől a fényingadozások statisztikájáig siker sikert követett.

Az entrópia megszületésétől a sugárzás entrópiájáig vezető, fél évszázadot átfogó történet összefoglalásául idézni kívánom Varró Sándor kommentárját [2], amelyet Max Plancknak az 1911-es Solvay-konferencián tartott előadására alapozott: „Az energia kvantáltságának gondolata Boltzmann-nak 1872-ben és 1877- ben megjelent munkáira vezethető vissza. Bár Boltzmann pusztán matematikai eszköznek tekintette a diszkrét elemi energiacsomagokat, mégis második cikkében - amelyben elvégezte a (termodinamikai) valószínűség kombinatorikai elemzését és kiszámította annak maximumát, megkapta a gáz molekulái által hordozott energiacsomagok (Bose-)eloszlását. Planck megjegyezte, hogy a kombinatorikus megvalósítások teljes száma, illetve azok maximális valószínűséggel bekövetkező konfigurációinak száma között a különbség elhanyagolható lévén, Boltzmann eredménye egyezik az ő entrópiaképletével.”

Az Univerzum entrópiája és a fekete lyukak

Az Univerzum egészére érvényes, a gravitációt is magábafoglaló termodinamika lehetőségét sokan vitatják, ám Stefan és Boltzmann képletével, amelynek együtthatóját Planck sugárzási törvénye meghatározza, könnyen kiszámítható az egykor létezett termikus egyensúlyból lecsatolódott, azóta kölcsönhatásmentes ideális gázként hűlő kozmikus fotonok és neutrínók által hordozott entrópia. A termodinamikai entrópia sűrűsége a hőmérséklet harmadik hatványával arányos. A 1028 cm méretű eseményhorizontunk belsejében 2,725 K hőmérsékletű fotongáz és 1,96 K hőmérsékletű neutrínógáz mindegyike az önmagában nehezen elképzelhető óriási nagyságrendet képviselő 1088 entrópiát hordozza (k egységben számolva!). A gravitációs energia hipotetikus kvantumai jóval korábban csatolódtak le, egyensúlyi gázuk ezért kisebb, 1086 entrópiát hordozhat. Amennyiben nem állt fent termikus egyensúly a lecsatolódásuk pillanatában, akkor entrópiájuk e becslésnél kisebb.

Az Univerzumban található nem-relativisztikus állapotú, elektromágneses sugárzást kibocsátó anyag entrópiája az anyag-antianyag aszimmetria értéke alapján becsülhető meg. Ezt az információt először a könnyű elemek ősszintézisének elméletéből nyerhető kozmikus előfordulási gyakoriságoknak a csillagászati mérésekkel való összevetéséből sikerült kihámozni. Értéke érzékenyen befolyásolja a kozmikus háttérsugárzás észleléseit is, így ma legpontosabban a háttérsugárzási mérésekből ismert a nem-relativisztikus anyagsűrűségnek a háttérsugárzás entrópiájához viszonyított értéke: N(anyag)/S (foton ) ≈ 10-9. Az entrópiának az anyagmennyiséggel való arányossága (extenzivitása) miatt S (anyag) ≈ 1079. Az Univerzum energiasűrűségét domináló sötét anyag és sötét energia entrópiatartalmáról egyelőre nincs információ. Annyit tudunk, hogy a sötét anyag mennyisége nagyjából hatszorosa a világítani képesnek. Amennyiben nem-relativisztikus nehéz elemi részek alkotják, amint azt a szuperszimmetrikus világra vonatkozó elméleti konstrukciók sugallják, akkor entrópiatartalma legfeljebb egy-két nagyságrenddel lehet nagyobb az elektromágnesesen világító anyagénál. A sötét energia gravitációs hatását mai ismereteink szerint teljesen jól leírja a nem-zérus kozmológiai állandó feltételezése. Miután ebben az állandóban feltevés szerint nincs statisztikai viselkedés, entrópiája zérus. Az utóbbi két kategória természetének részletesebb megismerése entrópiatartalmukat illetően is jelentős módosulásokat eredményezhet.

Mindezek a becslések a forró Univerzumban egykor fennálló termodinamikai egyensúlyból kiinduló termikus történethez kapcsolódnak. A statisztikus Boltzmann-definíció egy kiterjesztését használva azonban az entrópia fogalmat az 1970-es években sikerült alapvetően általánosítani. Az alább ismertetendő fejlemények alapján ma úgy tűnik, hogy az Univerzumban a szupermasszív fekete lyukak entrópiatartalma a meghatározó. Jacob Bekenstein (4. kép bal oldalán) 1973-ban, 26 éves korában írta meg tudománytörténeti jelentőségű Black Holes and Entropy című cikkét [3]. A hagyományos termodinamika keretei között fekete lyukakhoz kapcsolható entrópiaparadoxonra J.A. Wheeler (4. kép jobb oldalán) figyelt fel, és Bekenstein számára PhD-témának adta a kérdéskört. Meg kellett értenie, hogy hová lesz a fekete lyukba behulló anyag entrópiája. Bekenstein Hawking munkáját használta kiindulásként, aki általános tétel szintjére emelte Wheeler másik diákjának, Christodoulou nak bizonyos, az egzakt fekete lyuk megoldások fejlődésére vonatkozó észrevételét. Hawking tétele szerint a fekete lyuk eseményhorizontja felületének területe bármely folyamatban csak nőhet (az eseményhorizonton belülről induló fényjelek véges idő alatt nem jutnak ki a külvilágba). Például két fekete lyuk összeolvadásakor a létrejövő állandósult állapotú objektum (eseményhorizontjának) felülete nem lehet kisebb a két kiinduló fekete lyuk (eseményhorizontjai) felületének összegénél. Bekenstein cikke bevezetésében megjegyzi, hogy „mindez a termodinamika második tételére emlékeztet ...., a hasonlóság alapján érdemes a fekete lyukak fizikáját termodinamikai szempontból vizsgálni”.

Cikkében javaslatot tett a fekete lyukak entrópiájának és felületének arányos mennyiségként történő azonosítására, és ezzel sikeresen általánosította a termodinamika második tételét a fekete lyukak részvételével zajló folyamatokra. Bekenstein entrópiaképlete a következő:

képlet

ahol A a fekete lyuk eseményhorizontjának a felülete, c a fénysebesség, G a Newton-féle gravitációs állandó, h pedig a Planck-állandó. η dimenziótlan arányossági tényező. A kvantumosságot jellemző h állandó megjelenését az entrópia és a felület mértékegysége közötti átváltás indokolja. Ez az egyetlen univerzális természeti állandó, amely a jó dimenziót adja.

Az ismeretlen η számegyütthatót Bekenstein a C.E. Shannon által bevezetett I informatikai entrópiára támaszkodva becsülte meg, amelynek definíciója

képlet

Itt pn a vizsgált rendszer állapotai közül az n-ik megvalósulási valószínűsége. Egy bit információhoz ln2 informatikai entrópia társítható, ha a rendszert kétállapotúnak választva a két alternatív állapotról egyenlő valószínűséget tételezünk fel. Bekenstein egyrészt megbecsülte egy pontszerű tömeg elnyelésénél bekövetkező felületnövekedés alsó korlátját, másrészt a horizont mögötti eltűnésével járó információcsökkenést ráérzéses alapon 1 bitnek választotta. A fekete lyuk entrópianövekedését az informatikai entrópiacsökkenéssel téve egyenlővé jutott az közelítő becslésre, amelynek egzakt értékét végül Hawking számolta ki. Szokás ezért Bekenstein-Hawking- entrópiát is emlegetni.

4. kép

A fekete lyukakat az úgynevezett „kopaszsági tétel” miatt kisszámú makroszkopikus adatuk, azaz tömegük, elektromos össztöltésük, teljes impulzusmomentumuk kimerítő mértékben jellemzi a külső megfigyelő számára. Belső szerkezetükről semmiféle további információ nem nyerhető, például teljesen érdektelen, hogy adott tömegű fekete lyuk milyen folyamat eredményeképpen alakult ki, eseményhorizontjának belsejében a különféle töltésjellegű mennyiségek hogyan oszlanak el. Bekenstein javaslata szerint entrópiájuk mintegy a belső szerkezetre vonatkozó információ hiányának mértékét adja meg. Cikkében több, részletesen elemezhető példán mutatta meg, hogy egy fekete lyukba behulló, a tömegpontnál bonyolultabb, de még mindig igen egyszerű fizikai rendszer (pl. egy harmonikus oszcillátor) a teljes rendszer (fekete lyuk + oszcillátor) általánosított entrópiájának növekedését eredményezi. Az egyensúly fennállására vonatkozóan semmiféle előfeltevést nem tett. A hagyományos és a fekete lyukakra bevezetett új entrópia összegének változási irányára vonatkozó kijelentés az általánosított második törvény.

Kvázisztatikus tömegelnyelésre azon észrevétel alapján terjesztette ki a második főtétel differenciális alakját, miszerint az ismert Schwarzschild-megoldásban a fekete lyuk eseményhorizontjának sugara arányos annak tömegével. Miután a tömeget belső energiaként értelmezte, a megváltozás energiamérlege azt diktálja, hogy

dMfekete lyuk = T dSfekete lyuk.

Ezzel viszont hőmérséklet is értelmezhető a fekete lyukakra. A Schwarzschild-megoldás szerint ugyanis egy nem-forgó fekete lyuk Bekenstein-entrópiája a tömeg négyzetével arányos. Ezért a fenti képlet alján a fekete lyuk Hawking-hőmérséklete annak tömegével fordított arányban változik.

5. kép

Az egyensúlyi állapotot egy statisztikus mechanikai rendszerben a kezdeti állapottól független, univerzális eloszlású állapot jellemzi. Az egyensúlyból kitérített rendszerek tapasztalat szerint véges idő alatt relaxálnak az egyensúlyi állapotba. Miután a fekete lyuk hőmérsékleti sugárzása egyensúlyi jellege miatt a korábbi (a lyukba való behullás előtti) információt „elfelejti”, Hawking feltételezte, hogy az elemi kvantumfolyamatokra érvényes úgynevezett unitaritási tulajdonság (az együttes valószínűség megmaradása) sérül. Erre kötött fogadást Kip Thorne-nal és John Preskill - lel (5. kép ) valamikor a hetvenes évek végén, amire még visszatérünk.

A fekete lyukak előfordulási gyakorisága és jellemző tömege alapján az általuk hordozott entrópiára könnyen kapható becslés. Csillagászati megfigyelések alapján gyanítható, hogy minden galaxismagban, akárcsak a mi galaxisunkban, egy szupermasszív, a Nap tömegének tízmilliószorosát tartalmazó fekete lyuk helyezkedik el. Az Univerzum belátható részében található galaxisok számát 1011-re becsülik. Bekenstein képletét alkalmazva a fekete lyukak teljes entrópiájára az

képlet

becslés adható. Levonható a tanulság, hogy az ismert anyagi alkotórészeknek az entrópiához adott termikus járulékát a fekete lyukaknál figyelembe vett információvesztésből származó járulék sok nagyságrenddel felülmúlja. Felmerül a kérdés, egyáltalán van-e felső korlát az Univerzum entrópiájára?

Hologram a világ!(?)

Világunk fundamentális alkotóelemeit a kvantumtérelmélet háromdimenziós ráccsal modellezi, amelynek rácspontjaihoz, illetve a szomszédos rácspontokat összekötő élekhez társítja az önálló, bár egymással kölcsönható, szabadsági fokokat. A rácspontok távolságát az lPlanck Planck-hosszal becsülhetjük; az ennél kisebb hosszúságnak egyszerűen nincs értelme, hiszen a hosszúság a gravitáció által meghatározott téridő- metrika része, és ez alatt a hosszúság alatt a kvantumingadozások szétkenik a klasszikus téridő-geometriát. A Planck-hosszúság 10-35 m.

Egy szabadsági fok állapotának ismeretéhez 1 bit információt rendelve a látható Világegyetem V térfogatának (kB egységben számolt) Boltzmann-Shannon-entrópiájára

képlet

becslés adható. g* az egy rácsponthoz tartozó szabadsági fokok száma. Ez a részecskefizika Standard modellje szerint nagyjából száz körüli szám. Ezzel a megközelítéssel az Univerzum informatikai entrópiáját 10192-re becsülnénk. A szuperszimmetrikus sötét anyaggal kiegészített elmélet legfeljebb egy nagyságrenddel növelheti meg ezt a becslést.

Bekenstein 1994-ben felhívta a figyelmet arra, hogy valamely térrészben növelve az ott koncentrált energiát (az elemi részek nyelvén: a részecskesűrűséget) elérünk egy határt, amikor a tartomány fent vázolt térelméleti leírása értelmét veszti, mert a térrész fekete lyukká alakul [4]. A következő gondolatkísérletet elemezte: Képzeljünk el egy tértartományt, amelynek entrópiája nagyobb, mint az ahhoz a térrészhez tartozó fekete lyuké. Ha nincs ott egy fekete lyuk, akkor fel kell tételeznünk, hogy azért nincs, mert kisebb energiával (tömeggel) rendelkező állapot valósul meg. Kezdjünk ezután tömeget adni ehhez a tartományhoz. (Ezt a gondolatkísérletet szokás Susskind-folyamatnak is hívni a javaslattevő stanfordi fizikus neve után.) A tömeghatárt elérve megtörténik a feketelyuk- képződés, de a végállapot entrópiája kisebb, mint a kiinduló állapoté. Ez a folyamat sértené az általánosított entrópia növekedésének elvét. A konklúzió az, hogy egy V = 4πR3/3 térfogatú tértartomány tetszőleges állapotának maximális entrópiáját a térfogatot elfoglalni képes A = 4πR2 felületű eseményhorizonttal rendelkező fekete lyuknak megfelelő

képlet

képlettel lehet megbecsülni. A Világegyetem maximális entrópiájára ezzel 10126 adódik. Ehhez képest az ismert anyagformák termikus entrópiája elhanyagolható. Erre R. Boussonak az előzőhöz hasonló alakra hozott becslése világít rá a legtisztábban. Egy R sugarú tartományban a relativisztikus részecskékkel társított entrópiára és energiára fennállnak az

S ≈ R3 T3,       E ≈ R3 T4

arányosságok. Miután az energia nagyságát korlátozza a fekete lyuk kialakulásának esélye:

E ≤ állandó · R

ezért a relativisztikus részecskék gázának hőmérsékletére adódik a

T ≤  állandó · R-1/2

nagyságrendi korlát. Itt az állandó tényezők konkrét értéke érdektelen, mivel csak a geometriai méretektől való függés jellegét kívánjuk megérteni. Ezt az entrópiatartalom képletébe helyettesítve látható, hogy

S ≤ állandó · R3/2  ≈ A3/4

Érdekfeszítő kérdés, mi történik az éppen fekete lyukká alakuló anyag téridő szerkezetével, esetleg mikroállapotainak számával, amelynek eredményeként az entrópia a felülettel lineáris arányossági kapcsolatra vált át. A fent ismertetett gondolatok abban a megállapításban foglalhatók össze, hogy a gravitációs stabilitás korlátozza a valamely tértartományban tárolható maximális információtartalmat. A termodinamikai, statisztikus fizikai és informatikai entrópiafogalmak összekapcsolódásának felismerése vezethette John Wheelert arra a kijelentésre, hogy a fizika tárgya alapvetően a Világegyetem fundamentális információtartalmának a feltárása. Ennek ellenére nem várható, hogy a fizikusok elözönlenék a hazai és nemzetközi információtechnológiai pályázatokat. Ugyanis a fenti megállapításoknak a napi haszontermelésnél sokkal izgalmasabb következményei ígérkeznek.

G. 't Hooft (6. kép) 1993-ban radikális általánosítását adta Bekenstein észrevételének, amikor a Világegyetem egészét leírni képes, a jövőben megalkotandó elmélet szerkezetére felállította a holografikus elv hipotézist [5], ami azt állítja, hogy a Világegyetem legalapvetőbb független szabadsági fokai kétdimenziós sokaságot alkotnak. Miután óriási tartományról van szó, a határoló felület közelítően síkkal ábrázolható. A tartomány belsejében zajló folyamatok teljes információtartalma ezen a távoli „vetítővásznon” elhelyezkedő szabadsági fokokban rejlő információval meghatározott, és a határ viselkedéséből információvesztés nélkül származtatható. 't Hooft párhuzamba állította ezt az elképzelést a háromdimenziós képek kétdimenziós felületen történő tökéletes kódolásával, a hologrammal. Ennek alapján a fentebb szereplő entrópiakorlátot holografikus felső korlátnak hívják.

6. kép

Ez a korlát kissé csökkenthető, ha feltesszük, hogy a galaxisokba tömörült anyag termikusan tökéletesen szigetelt, azaz a tágulás a mikrohullámú háttérsugárzás lecsatolódása óta adiabatikus. Az akkori, nagyjából ezerszer kisebb tértartomány sugarával számolva a holografikus entrópiakorlát körülbelül milliószorta kisebb a fenti értéknél. A holografikus elv hívei nemcsak egyenlőtlenségként teljesülő felső korlátot, hanem egyenlőséget is remélnek a fenti becslésből kiolvasni. Ez pedig csillagászati „vadászatot” indít a hiányzó entrópia nyomában! Egy 2008 júniusában megjelent cikk P.H. Frampton amerikai fizikus tollából azt javasolja, hogy nemcsak szupermasszív fekete lyukak, hanem például a naptömeg ezerszeresét hordozók után is kutatni kellene gravitációs mikrolencse hatásuk felhasználásával. Elegendő számban az ilyen méretű fekete lyukak jelentősen hozzájárulhatnának a jelenlegi entrópiatartalmat a holografikus felső korláttól elválasztó „szakadék” kitöltéséhez.

A történet lezáratlanul vezet a mai részecskefizikai kutatások élvonalába, miután I. Klebanov és L. Susskind, valamint B. Thorn felismerték, hogy a húrelméletnek van olyan megfogalmazása, amely teljes mértékben megfelel 't Hooft várakozásának. Ugyanakkor mindmáig izgalmas vitakérdést jelent, hogy a fundamentális (Planck-hossznyi méretekben releváns) szabadsági fokok számát általában korlátozza-e a holografikus elv. Érdemes megjegyezni, hogy a fekete lyuk felületére koncentrált dinamikai szabadsági fokok feltevésével a fekete lyukak keletkezése és elpárolgása unitér folyamat, azaz a fekete lyukba hulló információ annak felületén tárolódik valamiképpen. Nemrég színpadias gesztussal az információvesztés lehetőségét eredetileg pártoló Hawking vesztesnek nyilvánította magát és átállt a holografikus elvet elfogadók táborába.

Zárásként az abszolút fekete test egykori és a fekete lyuk jelenkori tudománytörténeti szerepe közötti párhuzamra hívnám fel a figyelmet. Az abszolút fekete test sugárzásának univerzális jellege lehetővé tette, hogy Plancknak arra talált kvantumos leírását csakhamar más jelenségkörben fellépő „oszcillátorokra” is kiterjesszék, néhány évtized alatt kialakuljon a kvantum- természettudomány. Elképzelhető, hogy hasonló univerzalitású elméleti keretté épül a tetszőleges objektum által hordozott információ, amely keret jelenlegi megértési szintjét a fekete lyukak entrópiájára alapozott entrópiamaximum tulajdonsága, és az abból kinőtt holografikus elv képviseli.

Irodalom

  1. M. Planck: Válogatott írások. (szerk. Szegedi Péter) Typotex, Budapest, 2003, 285 oldal.
  2. S. Varró: Einstein's Fluctuation Formula. A Historical Overview. Fluctuation and Noise Letters (2006) R11-R46.
  3. J.D. Bekenstein: Black Holes and Entropy. Phys. Rev. D7 (1973) 2333-2346.
  4. J.D. Bekenstein: Entropy Bounds and Black Hole Remnants. Phys. Rev. D49 (1994) 1912-1921.
  5. R. Bousso: The Holographic Principle. Rev. Mod. Phys. 74 (2002) 825-874.

___________________

Az MTA Fizikai Osztály és az ELFT által Max Planck születésének 150. évfordulójának tiszteletére rendezett emlékülésen elmondott eloadás írott változata.