Fizikai Szemle honlap

Tartalomjegyzék

Fizikai Szemle 2008/9. 300.o.

ÁRAMVEZETŐHÖZ KAPCSOLÓDÓ FELÜLETI TÖLTÉS ÉS KÜLSŐ VILLAMOS TÉR

Veszely Gyula
BME Szélessávú Hírközlés és Villamosságtan Tanszék

Az elektrodinamika-könyvek legtöbbje az elektrosztatikát és a stacionárius áramlási teret teljesen független problémakörként tárgyalja. Pedig az áramvezető külső felületén megjelenő töltés hozzájárul az áramvezetőbeli villamos tér kialakításához, amely meghatározza az áramfolyás irányát. A probléma nehézségét az adja, hogy a külső villamos tér meghatározásához ismernünk kell az áramvezető sztatikus elektromos környezetét, matematikai nyelven a peremfeltételeket. Az irodalomban található analitikus módszerek közül Schaefer [1] zérus potenciálú hengerrel veszi körül az áramot hordozó hengeres vezetőt, így biztosítva a számításhoz szükséges peremfeltételt. Marcus [2] megismétli [1] számítását. Heald [3] az analitikus számíthatóság kedvéért ötletes modellt vezet be: áramköre egy zérus falvastagságú körhengerből áll, ennek egy zérus szélességű felhasításában helyezkedik el a „vonal” feszültségforrás. Ez a geometria kétdimenziós analitikus számítást tesz lehetővé. Mintegy melléktermékként a teljesítményáramlás Poynting-vektoros képe is kiadódik. Demonstrációt is lehetővé tevő fizikai modellt ismertet Jefimenko [4]. Üveglapra átlátszó vezető tintával rajzolja fel az áramkört, a villamos erőteret a 1. ábra. Derékszögben megtörő vezető az ekvipotenciális vonalakkal. Az elrendezés a papír síkjára merőleges irányban végtelen hosszúnak tekintendő (síkprobléma).A vezető végein látható kis téglalapok az elektródák, a bal oldali potenciálja 100 V, a jobb oldalié rászórt fűmaggal teszi láthatóvá és az egészet kivetíti. Hasonló bemutatót ír le Parker [6] is.

1. ábra

Jelen közlemény célja, hogy felhívja a figyelmet a jelenségkör numerikus térszámítás segítségével történő vizsgálatára. A szerző a MATLAB 6.6 Partial Differential Equation Toolboxát alkalmazta, de jól használható a QuickField 5.5 ingyenesen letölthető diákverziója [8] is. Kétféle elrendezést vizsgálunk: egy derékszögben megtörő vezetőt és egy ellenállást és feszültségforrást tartalmazó zárt hurkot. Megjegyezzük, hogy a felületi töltéssűrűség egyenes vezető esetén is fellép.

Derékszögben megtörő vezető

Az elrendezést a számított ekvipotenciális vonalakkal az 1. ábra mutatja. Az elrendezés síkprobléma, ami azt jelenti, hogy a papír síkjára merőleges irányban az elrendezés és a tér változatlan. A vezető tehát egy L-alapú hasáb. A vezető végein látható kis téglalapok az elektródák, a bal oldali potenciálja 100 V, a jobb oldalié -100 V. A vezető fajlagos vezetőképességét egységnyinek, a beágyazó szigetelő vezetőképességét 10-10-nek vettük, mert a programrendszer nem engedi meg a zérus vezetőképességet. Az elrendezést a befoglaló nagy téglalap oldalai mentén szigetelő falakkal zártuk le, ami azt jelenti, hogy ezekre az oldalakra nincs az áramsűrűségnek és így a J = γE differenciális Ohm-törvény alapján a térerősségnek sem merőleges komponense. Ezzel a választással tulajdonképpen [4] kísérletét szimuláljuk, ahol a kis vezetőképességű üveglap véges méretű volt.

2. ábra

Az ekvipotenciális vonalakból az alábbiak láthatók:
  1. ) Az ekvipotenciális vonalak merőlegesek a külső peremre, vagyis a térerősség és áramsűrűség peremre merőleges komponense zérus (zérus Neumann-peremfeltétel).
  2. ) A vezető egyenes szakaszain az ekvipotenciális vonalak merőlegesek a vezető szélére, vagyis itt az áramsűrűség a vezető szélével párhuzamos. Emellett a potenciál a távolsággal arányosan csökken, ahogy az Ohm-törvény megkívánja. A kanyarban a vezetőbeli ekvipotenciális vonalak elferdülnek az áramsűrűség kanyarodásának megfelelően.
  3. ) Ahol a vezető belsejében az ekvipotenciális vonal merőleges a vezető szélére, ott a vezető szélének belső oldalán nincs a térerősségnek és így az eltolási vektornak sem normális komponense. A folytonossági feltétel szerint tehát a vezető szélén fellépő felületi töltéssűrűség a szél külső oldalán fellépő eltolási vektor normális komponensével egyenlő.Ennek előjele az 1. ábra ekvipotenciális vonalaiból könnyen megállapítható. Tekintsük például a vezető felső vízszintes felületét. Körülbelül az x = -0,1-es koordinátáig a felületi töltéssűrűség pozitív (a térerősség normális komponense kifelé mutat), majd negatívvá válik (a térerősség normális komponense befelé mutat). A vezető alsó vízszintes felületén a felületi töltéssűrűség végig pozitív, a bal oldali függőleges felületén végig negatív, a jobb oldali függőleges felületén körülbelül az y = 0 koordinátáig pozitív, majd onnan negatív. Ezek a felületi töltéssűrűségek a vezető belsejében fellépő tér megfelelő kialakításával mintegy terelik az áramsűrűséget. A felületi töltéssűrűségeket a programrendszerben adott térerősség-számítás segítségével ki is számítottuk, közülük a vezető jobb oldali szélen fellépőt a 2. ábrában ábrázoltuk is.

Feszültségforrásból és ellenállásból álló áramkör

Az elrendezést az ekvipotenciális vonalakkal a 3. ábra mutatja. Ez az elrendezés is síkprobléma, vagyis az elektródák, az ellenállás, a bekötő vezetékek mind hasábok, amelyeknek valamely síkkal való metszete látható az ábrán. Az elektródák potenciálja 100 V, illetve -100 V. Az ellenállás (jobb oldali téglalap) vezetőképessége 0,1, a bekötő vezetékek (U-alakú idomok) vezetőképessége 1, a környezet vezetőképessége 10-10. A befoglaló nagy téglalap oldalai mentén itt is zérus merőleges irányú áramsűrűséget vettünk fel peremfeltételként.

3. ábra

Az ekvipotenciális vonalak menetéből látható, hogy a bekötő vezeték és az ellenállás egyenes szakaszain az áramsűrűség párhuzamos a vezetők szélével. Az ellenállásban a térerősség tízszer akkora, mint a bekötő vezetékben.

Figyelemmel az áramfolyás irányára és arra, hogy ez az áramfolyás a papír síkjára merőleges irányban nem változik, azt mondhatjuk, hogy az elrendezés mágneses tere olyan mint egy hosszú, téglalap keresztmetszetű tekercsé, azaz belül merőleges a papír síkjára (kívül a mágneses térerősség zérus). Ekkor azonban a Poynting-vektornak a papír síkjában kell feküdnie. Mivel a Poynting-vektornak a villamos térerősségre is merőlegesnek kell lennie, azért a Poynting- vektor erővonalai (az áramkör belsejében) egybeesnek az ekvipotenciális vonalakkal. Az ábra szépen illusztrálja, hogy a teljesítmény a szigetelőben áramlik. A forrásból kilépve a Poynting-vektor erővonalainak egy része a bekötő vezetékbe lép be, reprezentálva az abban fellépő veszteséget, az erővonalak másik része pedig eljut a fogyasztóba.

4. ábra

A szerzőnek nagy szellemi örömet okozott, hogy a Simonyi-Zombory-könyvben [9] szereplő és általa mindig sematikusnak tekintett 4. ábra ilyen gyakorlati háttérrel rendelkezik.

Irodalom

  1. C. Schaefer, Einführung in die theoretische physik 3/1 (1931) (Walter de Gruyter, Berlin), 175-184.
  2. A. Marcus: The electric field associated with a steady current in long cylindrical conductor. Am. J. Phys. 9 (1941) 225.
  3. M. A. Heald: Electric fields and charges in elementary circuits. Am. J. Phys. 52 (1984) 522.
  4. O. Jefimenko: Demonstration of the electric fields of currentcarrying conductors. Am. J. Phys. 30 (1962) 19.
  5. W. G. V. Rosser: Magnitude of surface charge distributions associated with electric current flow. Am. J. Phys. 38 (1970) 265.
  6. S. Parker: Electrostatics and current flow. Am. J. Phys. 38 (1970) 720.
  7. R. N. Varney, L. H. Fisher: Electric fields associated with stationary currents. Am. J. Phys. 52 (1984) 1097.
  8. http://www.quickfield.com/free_soft.htm
  9. Simonyi K., Zombory L.: Elméleti Villamosságtan. Műszaki Könyvkiadó, Budapest (2000) 55.