A SZIMMETRIKUS SÚLYOS PÖRGETTYŰ PROBLÉMÁJÁNAK ELEMI NUMERIKUS KEZELÉSE

Dede Miklós, Demény András, Darai Judit
KLTE, Kísérleti Fizikai Tanszék, Debrecen

"Die elementaren Darstellungen der Kreiseltheorie befassen sich nabezu ausschlielich mit der pseudoregulären Präcession, ... weil die allgemeine Kreiselbewegung sich mit elementaren Hilfsmitteln überhaupt nicht darstellen läßt." Ez a vélemény [1], amely szerint a súlyos pörgettyű mozgásának elemi úton való kezelése nem lehetséges, egyezik a legtöbb, az általános fizikába bevezető tankönyv véleményével: a súlyos pörgettyű kvantitatív leírása a reguláris precesszióra szorítkozik [2-5]. Általában úgy vélik, hogy a pörgettyű mozgásegyenletének megoldása - még a szimmetrikusé is magasabb matematikai ismereteket és a fizika "nehézfegyverzetét" igényli: az Euler-egyenletek vagy a Lagrange- vagy Hamilton-formalizmus használatát [6-8]. Ily módon az az alapvető fontosságú állítás, hogy a forgatónyomaték egyértelműen meghatározza egy merev test mozgását, általában tényleges bizonyítás nélkül marad az alapfizika kurzusok során.

A számítógépek elterjedése azonban új lehetőségeket jelent a bonyolult fizikai problémák kvantitatív kezelésében. Ebben a cikkben a szimmetrikus súlyos pörgettyű mozgásának leírására olyan numerikus eljárást adunk, amelynek során csak az alapfizikában általánosan használt fizikai törvényeket és matematikai eszközöket alkalmazunk. Ezek közül az első a forgatónyomatékot és a perdülést összekapcsoló perdülettétel (vektori formában)

L. = M,

(1.a)

vagy kis időtartamra vonatkoztatva

(1.b)

A másik a szögsebesség és a perdület összefüggése a főtengelyes alakra szorítkozva:

(2)

ahol az s index a szimmetriatengelyre, a , 1 és 2 indexek arra merőleges tengelyekre utalnak.

1. ábra
2. ábra

Ami a matematikai eszközöket illeti, a vektoralgebra elemeit használjuk. A perdületet gömbi polárkoordinátáival adjuk meg (lásd 1. ábra)

(3)

ahol és a polár-, illetve az azimutszög. Kis megváltozásaik a következőképpen fejezhetők ki:

(4)

ahol az lokális bázis-egységvektorok a rögzített i, j, k bázisvektorokkal a következőképpen fejezhetők ki:

(5)

A szimmetriatengely orientációja hasonlóan jellemezhető polárkoordinátáival. Polárszögét -val, azimutszögét -vel jelölve a lokális koordinátarendszer bázisvektorai az előzővel analóg módon:

(6)

A test szimmetriatengely körüli forgását leíró szög teszi teljessé a szimmetriatengely orientációjának megadását. ( és lényegében a szokásosan használt Euler-szögeknek felelnek meg.) A (6) egyenletekben definiált lokális rendszerek nincsenek mereven a testhez rögzítve: az e_s által definiált tengely követi a szimmetriatengely mozgását, de az és vektorok olyanok, hogy a testtől függetlenül forognak, -t mindig a vízszintes x-y síkkal párhuzamosan hagyva. A szimmetrikus pörgettyű tehetetlenségi nyomatékai ilyen "rögzítettségü" rendszerben is állandók. (Ilyen koordinátarendszert használ [9].)
Bármely, az egyik lokális bázisban kifejezett vektor kifejezhető a másikban, ha elkészítjük a megfelelő skalárszorzatokat. Például az L skalárkomponenseinek előállítása a test lokális rendszerében

(7)

A mozgás kvalitatív áttekintése

Tekintsünk egy súlyos pörgettyűt, azaz egy egyik pontjában rögzített gyorsan forgó (pörgő) merev testet egy rotort -, amelynek a súlypontja nem esik egybe a rögzítési ponttal. (De mindkét pont legyen rajta a test szimmetriatengelyén.) Tegyük fel, hogy a pörgettyű szimmetriatengelyét eredetileg vízszintes síkban rögzítettük, majd elengedtük. Így a kezdeti pillanatban a perdület párhuzamos a szimmetriatengellyel. A test súlya által kifejtett forgatónyomaték szintén vízszintes, de merőleges a szimmetriatengelyre. Emiatt a perdület azonnal elkezd forogni egy függőleges tengely körül szögsebességgel, amint az az (1) egyenletekből következik. (Lásd az [1-5] hivatkozások bármelyikét.) A szimmetriatengely még nyugalomban van a kezdeti pillanatban. De minthogy az szögkülönbség a perdület és a szimmetriatengely között növekszik, a perdületnek fokozatosan kialakul egy, a szimmetriatengelyre merőleges, vízszintes vektorkomponense, amint az a 2.a ábrán látható. Ez magával. hozza egy hasonló komponens megjelenését. Ez a szögsebesség-komponens azt eredményezi, hogy a szimmetriatengely lefelé esik, fokozatosan növekvő sebességgel: elkezd növekedni. Eddig a pontig a pörgettyű viselkedése olyan, mint egy közönséges ingáé. Azonban míg a szimmetriatengely a vízszint alá süllyed, a perdületnek és vele a szögsebességnek még egy merőleges komponense is lesz a tengely függőleges síkjában, és ez mindig felfelé mutat (lásd a 2.b ábrát). Ez a szögsebesség-komponens sodorja előre a szimmetriatengelyt, és a tengely követni kezdi a perdületet. Ha a pörgés gyors, ez a merőleges komponens viszonylag nagy lehet, még akkor is, ha a perdület és a szimmetriatengely közti szög még kicsi. Így előfordulhat, hogy a szimmetriatengely utoléri a perdületet (2.c ábra), sőt el is hagyja, mielőtt jelentősen a vízszintes sík alá süllyedne. De azután a szögsebesség "előremutató" komponense "hátramutatóvá" válik, a tengely süllyedése megáll, a tengely emelkedni kezd, és elérheti az eredeti szintet. A szimmetriatengelynek a perdülethez való ilyen közeledése miatt a szögsebesség vektor felfelé mutató komponense csökken, a szimmetriatengely mozgása fokozatosan lelassul, és a tengely megint hátramarad. Ily módon a szimmetriatengely követi és néha lehagyja a perdületet, felváltva süllyed és emelkedik: nutáció rakódik a közel állandó szögsebességű sima forgásra, amit pedig precessziónak neveznek. Úgy képzelhetjük, hogy a test hajtja a perdületet előre a súlyerő nyomatékánál fogva, és a perdület magával vonszolja a testet a megfelelő szögsebesség-komponens előresodró hatása által, azaz a pörgettyű mozgása úgy írható le, mint egy ismétlődően megkísérelt, de eltérített esés.

Mozgásegyenletek

Az előző fejezetbeli kvalitatív áttekintés könnyen áttranszformálható egy kvantitatív algoritmusba. A 3. ábra mutatja a mozgásegyenlet numerikus megoldásának egy sémáját (arra az esetre szorítkozva, amikor sebességfüggő nyomatékok nem hatnak). A fizika - (1) és (2) egyenletekben megfogalmazott - általános törvényei a "bal felső" és "jobb alsó" lépésekben vannak benne, a specifikus törvények - a megfelelő erőtörvények - a "jobb felső" lépésben. A vízszintes vonalak a geometriai műveleteket jelképezik, azaz a vektorkomponensek áttranszformálását egy másik lokális ortogonális koordinátarendszerbe (a (7) egyenletekhez hasonlóan), a többi lépés tisztán kinematikai. Ezen transzformációkkal a test és a perdület mozgása párhuzamosan kezelhető, mivel értékeik kis változásait felváltva számoljuk.

A perdületnek a test lokális rendszerére vonatkozó komponensei a (7) egyenletek által vannak megadva. A megfelelő tehetetlenségi nyomatékokkal osztva a (2) egyenletek szerint a szögsebesség-komponenseket kapjuk:

(8)

A szögsebesség-vektor előállítható az Euler-szögek idő szerinti deriváltjaival a következőképpen

(9)

Az -beli merőleges komponensei a megfelelő bázisvektorokkal képzett skalárszorzatokkal stb. - a (6) egyenletek segítségével nyerhetők:

(10)

3. ábra

Az egyenleteket megoldva, és a megoldásokat véges differenciákkal kifejezve kapjuk:

(11)

Az algoritmus másik oldala - a 3. ábra alsó lépései - a perdület változásának számolása a következő intervallumban, lévén a forgatónyomaték a test orientációja által meghatározva. A test súlyának nyomatéka

(12)

ahol s a forgásközéppontból a tömegközéppontba mutató helyzetvektor. Komponensei a perdület lokális rendszerében - (5) és (6) felhasználásával-

(13)

A perdület kis változásának lokális komponensei ezután (l.b), (4) és (13) alapján a következő egyenletek által vannak meghatározva:

(14)

A kezdeti feltételek megadhatók és akár vagy rögzítésével. Az utóbbi esetben először induló értékeit számoljuk a 3. ábra algoritmusának megfelelő részét alkalmazva fordítva.

Numerikus eredmények

A numerikus algoritmus egyszerűen abból áll, hogy felváltva alkalmazzuk a (8, 11) és (14) egyenleteket az Euler-szögek és a perdület kis változásainak kiszámolására. Bevezetve a következő jelöléseket

4. ábra

	megfelelő kezdőértékek)
a

dimenziótlan konstansokat, és az

dimenziótlan változókat, az algoritmus blokk-diagramja a 4. ábrán látható alakúvá válik. (Az mennyiségekről később bebizonyosodik, hogy éppen a precessziós és nutációs szögsebességeket adják Az 5-6. ábrák illusztrációk egy, a blokk-diagramot megvalósító Pascalnyelvű programmal kapott eredményekről különböző induló arányok esetén. Az ábráka szimmetriatengely egy referenciapontjának nyomát jelzik (a szimmetriatengely metszéspontját a referenciagömbbel), és a perdületvektor hegyének nyomát is mutatják.

5. ábra

6. ábra

Egymást követő pillanatokban a perdületet reprezentáló nyíl és a referenciapont pozíciója is ábrázolva van, az utóbbi kövér pontokkal értékkel számoltunk). A kezdeti feltételek a perdület és a szimmetriatengely kezdeti pozíciójából olvashatók ki. A 6. ábrán feltüntetett mozgás didaktikailag fontos: az átmenetet mutatja egy súlyos pörgettyű és egy inga mozgása között. Az órai demonstráció során a megoldást animációként mutatjuk, a szimmetriatengely körüli forgást is mutatva.

Következtetések

A mechanikatanítás fő feladata meggyőzni a tanulókat arról, hogy a környezet meghatározza a testek mozgását. Tömegpont esetén manapság közönséges gyakorlat ezt a tételt a mozgásegyenlet lépésről lépésre numerikus úton történő megoldásával demonstrálni, ha az erőtörvények és a kezdeti feltételek adva vannak, nem csupán az alapszintű egyetemi oktatásban [10], hanem akár a középiskolában is [11]. A forgó merev testekre vonatkozó állítás hasonló demonstrálása általában kimarad a hagyományos alapfizika kurzusokból. Ezt a hiányt reméljük pótolni a bemutatott egyszerű algoritmussal.

Irodalom

[1.] F. KLEIN, A. SOMMERFELD: Über die Theorie des Kreisels - Teubner, Leipzig-Berlin 1921, 307.
[2.] E. GRIMSEHL: Lehrbuch der Physik - Verlag und Druck von B.G. Teubner, Leipzig-Berlin 1923. 167-174.
[3.] CH. KITTEL, W.D. KNIGHT, M.A. RUDERMAN: Mechanics - Berkeley Physics Course - Volume l - McGraw-Hill Book Company, New York etc. 1965. 249-259.
[4.] F.W. SEARS, M.W. ZEMANSKY, H.D. YOUNG: UniVersity Pysics-Addison-Wesley, Reading, Massachusetts 1987. 235-238.
[5.] R. RESNICH, D. HALLIDAY, K.S. KRANE Physics - John Wiley & Sons, New York etc. 1995. 275-284.
[6.] G. JOOS: Theoretical Physics- Blackie & Son, London. 1958. 150-160.
[7.] L.D. LANDAU, E.M. LIFSCHITZ: Elméleti Fizika, Mechanika - Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. 35-36. fejezet
[8.] BUDÓ Á.: Mechanika - Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1979. 231-245.
[9.] W.B. CASE, M.A. SHAY: On the interesting behaviour of the gimbal mounted gyroscope- Am. J. Phys. 60 (1992) 503-506.
[10.] R.P. FEYNMAN, R.B. LEIGHTON, M. SANDS: The Feynman lectures on physics-Adidison-Wesley, Reading, Massachusetts 1964. 9.6 és 9.7 fejezet
[11.] DEDE M., ISZA S.: Fizika II - Tankönyvkiadó, Budapest 1993. 14. fejezet