Fizikai Szemle honlap

Tartalomjegyzék

Fizikai Szemle 2003/9. 342.o.

Négyszögletes kerék

Hosszabb szünet után ismét folytatjuk az 1996-ban anyaghiány miatt megszakadt problémamegoldó rovatunkat, a sokak által népszerűnek tartott "Négyszögletes kereket". Kérjük tisztelt kollégáinkat és a Szemle valamennyi Olyasóját, fizikusokat és fizikatanárokat, orvosokat és biológusokat, a ravasz logikai feladatokat kedvelő középiskolásokat és akadémikusokat, hogy a rovat "életben tartása" érdekében küldjenek be matematikailag nem túl bonyolult, de logikus gondolkodást, egy-egy jó ötletet igénylő feladatokat, problémákat - lehetőleg megoldással együtt. Elsősorban fizikai, vagy a fizika határterületeihez tartozó feladatokat várunk, de más jellegű problémákat is közzétehetünk. Nem szükséges, hogy a feladatok eredetiek legyenek, de a forrást (ha ismert), kérjük, nevezzék meg. A feladatjavaslatokat lehetőleg drótpostán (gnadig@komal.hu címre), vagy hagyományos levélben a Szerkesztőségbe kéri a rovatvezető. Az új feladat megoldását is beküldheti bárki, vagy hozzászólhat a már megjelent megoldáshoz. Ezekre a levelekre válaszolunk, illetve az érdekes megjegyzéseket, kiegészítéseket közzétesszük.

132. PROBLÉMA

Az ábrán látható tartálykocsi vízszintes talajon elhanyagolható súrlódással mozoghat. A tartálykocsiban víz van, és az egész rendszer kezdetben nyugalomban van. Mozgásba jön-e a kocsi (s ha igen, hogyan?), ha a kocsi közepétől l távolságra levő, függőlegesen lefelé álló kifolyócsövön kiengedjük a vizet a tartályból. Valaki azt állítja, hogy a kiürült kocsi mozogni fog. Ha ez igaz, vajon jobbra, vagy balra?

D.J. Szaharov nyomán
Szbornyik zadacsi po fizike
Moszkva, 1973.

A 132. PROBLÉMA MEGOLDÁSA

Kezdetben a tartálykocsi is és a benne levő víz is nyugalomban van. Mivel vízszintes irányú külső erő nem hat, a rendszer vízszintes irányú impulzusa mindvégig nulla kell maradjon, és a tömegközéppont vízszintesen nem mozdulhat el.

Amikor a víz elkezd kifolyni a nyíláson, a víz tömegközéppontja balra mozdul el, a tartálykocsi tehát jobbra kell mozduljon. (A lendületmegmaradás törvénye eközben úgy teljesül, hogy a tartálykocsin belül a víz a földhöz képest balra áramlik.)

Tételezzük fel, hogy a tartálykocsi mozgása mindvégig változatlan irányú (tehát jobbra mutató) marad. Ha ez igaz lenne, akkor a kifolyó víz (amely a tartálykocsihoz képest függőlegesen mozog) jobbra mutató eredő vízszintes impulzussal rendelkezne, és az üres kocsi impulzust is ugyanilyen irányú (vagy esetleg nulla) lenne; ez pedig ellentmond az impulzusmegmaradás törvényének. A kocsi mozgásiránya tehát a víz kifolyása közben valamikor megfordul, vagyis a tartálykocsi bizonyos ideig balra is mozog. Elvben elképzelhető lenne, hogy a kocsi mozgásiránya még többször is megváltozik, részletesebb matematikai analízissel azonban ki lehet mutatni, hogy ez nem következik be, az üres kocsi is balra fog mozogni. A kocsi sebességirányának megváltozását a tartály belsejében kezdetben balra mozgó víz lefékeződése okozza A víz a tartály bal oldali falára nagyobb erőt fejt ki, mint a jobb oldalira, ez a dinamikai magyarázata a jobbra mozgó tartály lefékeződésének, majd balra való elindulásának.

A tartálykocsi és a víz furcsának tűnő mozgását egy egyszerű (természetesen idealizált) példán keresztül is szemléltethetjük. Képzeljünk el egy M tömegű ideális (súrlódásmentesen mozgó) vasúti kocsit, amelynek közepén egy m tömegű bliccelő diák és egy ugyancsak m tömegű, szigorú kalauz található. Kezdetben a kocsi is, a kalauz is és a diák is mozdulatlan. Amikor a kalauz felfedezi, hogy az utasának nincs jegye, a diák a kocsi bal oldali peronja felé kezd el szaladni, a kalauz pedig utána. Természetesen eközben a kocsi is mozgásba jön, méghozzá jobb felé. A diák eléri a peront, leugrik a lassan mozgó kocsiról, méghozzá annak hossztengelyére merőlegesen, tehát (a töltéshez képest) jobb felé mutató sebességkomponenssel. A kocsi még mindig jobbra mozog, mert a kalauz bal felé szalad.) A kalauz is eléri a peront, és ott (a kocsihoz képest) megáll. Ebben a pillanatban a kocsi (és a kalauz) még mindig balra kell mozogjon, mert a diák által "elvitt" impulzus ezzel ellentétes irányú volt.) Végül a kalauz is leugrik a vonatról, és a diák után ered, miközben az üres kocsi megtartja balra mutató sebességét.

Ha az elképzelt történetet általánosítjuk n diákra és egy őket üldöző kalauzra, majd a peronon való megtorpanásnak megfelelő rugalmatlan “ütközések" következményét n » 1 esetben számítógéppel számoljuk, az eredeti folyadékáramlási problémának elég reális, diszkrét modelljét kapjuk Ennek részletesebb elemzését azonban az érdeklődő Olvasóra bízzuk.

133. PROBLÉMA

Mihez kell nagyobb energia, ahhoz hogy egy bizonyos tömegű testet a Naprendszerből eltávolítsunk, vagy ahhoz, hogy ugyanezt a testet a Napba juttassuk? Mekkora a szükséges energiák aránya? (A test kezdetben a Föld felszínén nyugszik. A Napot tekintsük pontszerűnek, a szükséges energiát pedig mérjük - mondjuk - a rakéta hajtóművében elégetett üzemanyag mennyiségével!)

Marx György feladata nyomán