Négyszögletes kerék

Mihez kell nagyobb energia, hogy egy bizonyos tömegű testet a Naprendszerből eltávolítsunk, vagy ahhoz, hogy ugyanezt a testet a Napba juttassuk? Mekkora a szükséges energiák aránya? (A test kezdetben a Föld felszínén nyugszik. A Napot tekintsük pontszerűnek, a szükséges energiát pedig mérjük mondjuk - a rakéta hajtóművében elégetett üzemanyag mennyiségével!)

Marx György feladata nyomán

A hordozórakétának mindkét esetben el kell hagynia "a Föld gravitációs erőterét", vagyis "ki kell másznia" a Föld gravitációs potenciálgödréből. Ehhez bizonyos mennyiségű energiára (üzemanyagra) van szükség. Tételezzük fel, hogy a rakéta ezt már elhasználta, tehát a Földtől kellő távolságban levő "pakolópályára" állt. (Ezen folyamat energiaszükségletének számításánál a Nap gravitációs hatását - jó közelítésben elhanyagolhatjuk, a rakéta mozgását a Földhöz rögzített koordinátarendszerben egytest-problémaként kezelhetjük. Takarékossági okokból kihasználhatjuk a Föld forgását: érdemes a rakétát az Egyenlítőről kelet felé indítani. A felhasználandó üzemanyag mennyiségét itt most nem számítjuk ki, csupán azt a tényt rögzítjük, hogy az mindkét űrprogram első "felvonásában" ugyanannyi.)

A rakéta további mozgása során - melyet célszerű a Naphoz rögzített koordinátarendszerből tárgyalni, - a Föld gravitációs hatása jó közelítéssel elhanyagolható, és elegendő csupán a Nap gravitációs erőterét figyelembe venni. Az űrszonda a Föld v₀  30 km/s keringési sebességével már rendelkezik. A Naprendszer elhagyásához (mint az a Newton-egyenletekből, vagy az energiamegmaradás törvényéből könnyen belátható) ezen érték -szeresére van szükség, tehát a szonda sebességét km/s-mal kell megváltoztatnunk. (A mozgás leírását csak a jobb áttekinthetőség kedvéért bontottuk két részre. Az űrszondát ténylegesen a Föld közvetlen közelében "egyetlen lépésben" érdemes felgyorsítani, mert így a hajtóműből kilökött égéstermékek a "gravitációs kút" fenekén, alacsonyabb energiájú helyen maradnak.)

Ha a szondát a Napba kívánjuk juttatni, akkor a perdületét (impulzusnyomatékát) nullára kell csökkentenünk. (Ha a Nap méretét nem hanyagoljuk el, akkor a perdületet olyan kicsire kell csökkentenünk, hogy a szonda erősen elnyújtott ellipszispályája érintse a Nap felszínét.) Ezt például úgy érhetjük el, hogy a szonda sebességét (a Föld keringésével ellentétes irányban) v₀ -lal megváltoztatjuk, mintegy eltüntetjük a Naphoz rögzített rendszerben meglévő v₀ kezdősebességét. Ez nyilván nagyobb energiabefektetést (több üzemanyag-felhasználást) igényel, mint a Naprendszer elhagyása.

Meglepő, de nem ez a legtakarékosabb megoldás! Ha a szondát nem lassítjuk, hanem felgyorsítjuk, méghozzá majdnem akkora sebességre, amekkora a Naprendszer elhagyásához lenne elegendő, akkor a szonda "kifele" nagyon elnyújtott (a Plutóig, vagy még annál is messzebb elérő) ellipszispályára kerül. Ennek a pályának a Naptól legtávolabbi pontjában a szonda sebessége nagyon kicsi, tehát egy igen gyenge segédhajtómű rövid ideig történő működtetésével is lefékezhető az űrszonda. A teljes üzemanyag-felhasználás (energiabefektetés) tehát optimális esetben mindkét űrprogram során ugyanakkora. Az egyik esetben az energiamegmaradás, a másikban a perdületmegmaradás törvénye ellen kell "küzdenünk".

Megfontolásaink során nem foglalkoztunk a külső bolygók esetleges "csúzlihatásával" (ami mindkét űrprogram megvalósítását segítheti), továbbá azt a műszaki kérdést is figyelmen kívül hagytuk, hogy a Napba "ejtés" második forgatókönyve igen sokáig (határesetben végtelen hosszít ideig) tartana.

Egy kerékpáros leszállt a járművéről, és a járdán guggolva az egyik kezével éppen csak annyira tartja azt, hogy el ne dőljön. A másik kezével a kerékpár egyik pedálját, amely éppen a legmélyebb helyzetében van, bizonyos nagyságú vízszintes erővel a hátsó kerék felé tolni kezdi.

• Elindul-e a kerékpár, s ha igen, merre: előre vagy hátrafelé?
• Azonos vagy ellentétes irányban forog a hajtókar és a hátsó kerékagy fogaskereke?
• A talajhoz képest milyen irányban mozdul el az alsó helyzetben lévő pedál?

K.F Riley, Cambridge