Fizikai Szemle honlap |
Tartalomjegyzék |
Dede Miklós, Demény András,
Darai Judit
KLTE, Kísérleti Fizikai Tanszék, Debrecen
"Die elementaren Darstellungen der Kreiseltheorie befassen sich nabezu ausschlielich mit der pseudoregulären Präcession, ... weil die allgemeine Kreiselbewegung sich mit elementaren Hilfsmitteln überhaupt nicht darstellen läßt." Ez a vélemény [1], amely szerint a súlyos pörgettyű mozgásának elemi úton való kezelése nem lehetséges, egyezik a legtöbb, az általános fizikába bevezető tankönyv véleményével: a súlyos pörgettyű kvantitatív leírása a reguláris precesszióra szorítkozik [2-5]. Általában úgy vélik, hogy a pörgettyű mozgásegyenletének megoldása - még a szimmetrikusé is magasabb matematikai ismereteket és a fizika "nehézfegyverzetét" igényli: az Euler-egyenletek vagy a Lagrange- vagy Hamilton-formalizmus használatát [6-8]. Ily módon az az alapvető fontosságú állítás, hogy a forgatónyomaték egyértelműen meghatározza egy merev test mozgását, általában tényleges bizonyítás nélkül marad az alapfizika kurzusok során.
A számítógépek elterjedése azonban új lehetőségeket jelent a bonyolult fizikai problémák kvantitatív kezelésében. Ebben a cikkben a szimmetrikus súlyos pörgettyű mozgásának leírására olyan numerikus eljárást adunk, amelynek során csak az alapfizikában általánosan használt fizikai törvényeket és matematikai eszközöket alkalmazunk. Ezek közül az első a forgatónyomatékot és a perdülést összekapcsoló perdülettétel (vektori formában)
L. = M, | (1.a) |
vagy kis időtartamra vonatkoztatva
|
(1.b) |
A másik a szögsebesség és a perdület összefüggése a főtengelyes alakra szorítkozva:
|
(2) |
ahol az s index a szimmetriatengelyre, a , 1 és
2 indexek arra merőleges tengelyekre utalnak.
1. ábra |
|
2. ábra |
|
Ami a matematikai eszközöket illeti, a vektoralgebra elemeit használjuk. A perdületet gömbi polárkoordinátáival adjuk meg (lásd 1. ábra)
|
(3) |
ahol és
a polár-, illetve az azimutszög.
Kis megváltozásaik a következőképpen
fejezhetők ki:
|
(4) |
|
(5) |
A szimmetriatengely orientációja hasonlóan
jellemezhető polárkoordinátáival.
Polárszögét -val, azimutszögét
-vel jelölve a lokális
koordinátarendszer
bázisvektorai az előzővel analóg módon:
|
(6) |
|
(7) |
A mozgás kvalitatív áttekintése
Tekintsünk egy súlyos pörgettyűt,
azaz egy egyik pontjában rögzített gyorsan
forgó (pörgő) merev testet egy rotort -, amelynek
a súlypontja nem esik egybe a rögzítési
ponttal. (De mindkét pont legyen rajta a test
szimmetriatengelyén.)
Tegyük fel, hogy a pörgettyű szimmetriatengelyét
eredetileg vízszintes síkban rögzítettük,
majd elengedtük. Így a kezdeti pillanatban a perdület
párhuzamos a szimmetriatengellyel. A test súlya
által kifejtett forgatónyomaték szintén
vízszintes, de merőleges a szimmetriatengelyre.
Emiatt a perdület azonnal elkezd forogni egy függőleges
tengely körül szögsebességgel,
amint az az (1) egyenletekből következik. (Lásd
az [1-5] hivatkozások bármelyikét.) A szimmetriatengely
még nyugalomban van a kezdeti pillanatban. De minthogy
az
szögkülönbség a perdület és
a szimmetriatengely között növekszik, a perdületnek
fokozatosan kialakul egy, a szimmetriatengelyre merőleges,
vízszintes
vektorkomponense, amint az
a 2.a ábrán látható. Ez magával.
hozza egy hasonló
komponens megjelenését.
Ez a szögsebesség-komponens azt eredményezi,
hogy a szimmetriatengely lefelé esik, fokozatosan növekvő
sebességgel:
elkezd növekedni. Eddig a pontig a
pörgettyű viselkedése olyan, mint egy közönséges
ingáé. Azonban míg a szimmetriatengely a
vízszint alá süllyed, a perdületnek és
vele a szögsebességnek még egy
merőleges
komponense is lesz a tengely függőleges síkjában,
és ez mindig felfelé mutat (lásd a 2.b
ábrát). Ez a szögsebesség-komponens
sodorja előre a szimmetriatengelyt, és a tengely
követni kezdi a perdületet. Ha a pörgés
gyors, ez a merőleges komponens viszonylag nagy lehet,
még akkor is, ha a perdület és a szimmetriatengely
közti szög még kicsi. Így előfordulhat,
hogy a szimmetriatengely utoléri a perdületet (2.c
ábra), sőt el is hagyja, mielőtt jelentősen
a vízszintes sík alá süllyedne. De azután
a szögsebesség "előremutató"
komponense "hátramutatóvá" válik,
a tengely süllyedése megáll, a tengely
emelkedni kezd, és elérheti az eredeti szintet.
A szimmetriatengelynek a perdülethez való ilyen közeledése
miatt a szögsebesség vektor felfelé mutató
komponense csökken, a szimmetriatengely mozgása fokozatosan
lelassul, és a tengely megint hátramarad. Ily módon
a szimmetriatengely követi és néha lehagyja
a perdületet, felváltva süllyed és emelkedik:
nutáció rakódik a közel állandó
szögsebességű sima forgásra, amit pedig
precessziónak neveznek. Úgy képzelhetjük,
hogy a test hajtja a perdületet előre a súlyerő
nyomatékánál fogva, és a perdület
magával vonszolja a testet a megfelelő szögsebesség-komponens
előresodró hatása által, azaz a pörgettyű
mozgása úgy írható le, mint egy ismétlődően
megkísérelt, de eltérített esés.
Mozgásegyenletek
Az előző fejezetbeli kvalitatív áttekintés könnyen áttranszformálható egy kvantitatív algoritmusba. A 3. ábra mutatja a mozgásegyenlet numerikus megoldásának egy sémáját (arra az esetre szorítkozva, amikor sebességfüggő nyomatékok nem hatnak). A fizika - (1) és (2) egyenletekben megfogalmazott - általános törvényei a "bal felső" és "jobb alsó" lépésekben vannak benne, a specifikus törvények - a megfelelő erőtörvények - a "jobb felső" lépésben. A vízszintes vonalak a geometriai műveleteket jelképezik, azaz a vektorkomponensek áttranszformálását egy másik lokális ortogonális koordinátarendszerbe (a (7) egyenletekhez hasonlóan), a többi lépés tisztán kinematikai. Ezen transzformációkkal a test és a perdület mozgása párhuzamosan kezelhető, mivel értékeik kis változásait felváltva számoljuk.
A perdületnek a test lokális rendszerére vonatkozó komponensei a (7) egyenletek által vannak megadva. A megfelelő tehetetlenségi nyomatékokkal osztva a (2) egyenletek szerint a szögsebesség-komponenseket kapjuk:
|
(8) |
|
(9) |
|
(10) |
3. ábra |
|
Az egyenleteket megoldva, és a megoldásokat
véges differenciákkal kifejezve kapjuk:
|
(11) |
Az algoritmus másik oldala - a 3.
ábra alsó
lépései - a perdület változásának
számolása a következő intervallumban,
lévén a forgatónyomaték a test orientációja
által meghatározva. A test súlyának
nyomatéka
|
(12) |
|
(13) |
A perdület kis változásának lokális komponensei ezután (l.b), (4) és (13) alapján a következő egyenletek által vannak meghatározva:
|
(14) |
Numerikus eredmények
A numerikus algoritmus egyszerűen abból áll,
hogy felváltva alkalmazzuk a (8, 11) és
(14) egyenleteket
az Euler-szögek és a perdület kis változásainak
kiszámolására. Bevezetve a következő
jelöléseket
4. ábra |
|
|
megfelelő kezdőértékek) |
a |
5. ábra |
6. ábra |
Egymást követő pillanatokban a perdületet reprezentáló
nyíl és a referenciapont pozíciója
is ábrázolva van, az utóbbi kövér
pontokkal értékkel
számoltunk).
A kezdeti feltételek a perdület és a szimmetriatengely
kezdeti pozíciójából olvashatók
ki. A 6. ábrán feltüntetett mozgás
didaktikailag fontos: az átmenetet mutatja egy súlyos
pörgettyű és egy inga mozgása között.
Az órai demonstráció során a megoldást
animációként mutatjuk, a szimmetriatengely
körüli forgást is mutatva.
Következtetések
A mechanikatanítás fő feladata meggyőzni
a tanulókat arról, hogy a környezet meghatározza
a testek mozgását. Tömegpont esetén
manapság közönséges gyakorlat ezt a tételt
a mozgásegyenlet lépésről lépésre
numerikus úton történő megoldásával
demonstrálni, ha az erőtörvények és
a kezdeti feltételek adva vannak, nem csupán az
alapszintű egyetemi oktatásban [10], hanem akár
a középiskolában is [11]. A forgó merev
testekre vonatkozó állítás hasonló
demonstrálása általában kimarad a
hagyományos alapfizika kurzusokból. Ezt a hiányt
reméljük pótolni a bemutatott egyszerű
algoritmussal.
[1.] F. KLEIN, A. SOMMERFELD: Über die Theorie des
Kreisels - Teubner, Leipzig-Berlin 1921, 307.
[2.] E. GRIMSEHL: Lehrbuch der Physik - Verlag und Druck
von B.G. Teubner, Leipzig-Berlin 1923. 167-174.
[3.] CH. KITTEL, W.D. KNIGHT, M.A. RUDERMAN: Mechanics - Berkeley
Physics Course - Volume l - McGraw-Hill Book Company, New
York etc. 1965. 249-259.
[4.] F.W. SEARS, M.W. ZEMANSKY, H.D. YOUNG: UniVersity Pysics-Addison-Wesley,
Reading, Massachusetts 1987. 235-238.
[5.] R. RESNICH, D. HALLIDAY, K.S. KRANE Physics - John Wiley
& Sons, New York etc. 1995. 275-284.
[6.] G. JOOS: Theoretical Physics- Blackie & Son, London.
1958. 150-160.
[7.] L.D. LANDAU, E.M. LIFSCHITZ: Elméleti Fizika, Mechanika
- Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. 35-36. fejezet
[8.] BUDÓ Á.: Mechanika - Nemzeti Tankönyvkiadó,
Budapest, 1979. 231-245.
[9.] W.B. CASE, M.A. SHAY: On the interesting behaviour of the
gimbal mounted gyroscope- Am. J. Phys. 60 (1992) 503-506.
[10.] R.P. FEYNMAN, R.B. LEIGHTON, M. SANDS: The Feynman lectures
on physics-Adidison-Wesley, Reading, Massachusetts 1964.
9.6 és 9.7 fejezet
[11.] DEDE M., ISZA S.: Fizika II - Tankönyvkiadó,
Budapest 1993. 14. fejezet